Exercice 14 - Exercice 1

la fonction cosinus est de période $$2\pi$$. La présence du terme $$n \dfrac{\pi}{2}$$ dans l'argument du cosinus nous invite à réaliser des regroupement de quatre terme.
On pose alors, pour tout nombre entier naturel $$n$$ :
$$u_n = \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + n \dfrac{\pi}{2} \right)}{n}$$
Et :
$$v_n = u_{4n+1} + u_{4n+2} + u_{4n+3} + u_{4n+4}$$
Soit :
$$v_n = \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + (4n+1) \dfrac{\pi}{2} \right)}{4n+1} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + (4n+2) \dfrac{\pi}{2} \right)}{4n+2} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + (4n+3) \dfrac{\pi}{2} \right)}{4n+3} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + (4n+4) \dfrac{\pi}{2} \right)}{4n+4}$$
Soit encore :
$$v_n = \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + n2\pi + \dfrac{\pi}{2} \right)}{4n+1} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + n2\pi + \pi \right)}{4n+2} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + n2\pi + \dfrac{3\pi}{2} \right)}{4n+3} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + n2\pi + 2\pi \right)}{4n+4}$$
Donc :
$$v_n = \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} \right)}{4n+1} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + \pi \right)}{4n+2} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{2} \right)}{4n+3} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{4n+4}$$
Ainsi :
$$v_n = \dfrac{-\sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{4n+1} + \dfrac{-\cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{4n+2} + \dfrac{\sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{4n+3} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{4n+4}$$
De fait :
$$v_n = \dfrac{-\sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{4n+1} + \dfrac{-\cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{4n+2} + \dfrac{\sin \left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{4n+3} + \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} \right)}{4n+4}$$
En factorisant :
$$v_n = \dfrac{- \dfrac{\sqrt{2}}{2} }{4n+1} + \dfrac{-\dfrac{ \sqrt{2}}{2} }{4n+2} + \dfrac{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{4n+3} + \dfrac{ \dfrac{\sqrt{2}}{2} }{4n+4}$$
En factorisant :
$$v_n = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \dfrac{- 1 }{4n+1} + \dfrac{- 1 }{4n+2} + \dfrac{ 1}{4n+3} + \dfrac{ 1 }{4n+4} \right)$$
Soit encore :
$$v_n = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \left( \dfrac{- 1 }{4n\left( 1 + \dfrac{1}{4n} \right)} + \dfrac{- 1 }{4n\left( 1 + \dfrac{2}{4n} \right)} + \dfrac{ 1}{4n\left( 1 + \dfrac{3}{4n} \right)} + \dfrac{ 1 }{4n\left( 1 + \dfrac{4}{4n} \right)} \right)$$
De fait :
$$v_n = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{4n} \left( -\dfrac{1}{\left( 1 + \dfrac{1}{4n} \right)} - \dfrac{ 1 }{\left( 1 + \dfrac{2}{4n} \right)} + \dfrac{ 1}{\left( 1 + \dfrac{3}{4n} \right)} + \dfrac{ 1 }{\left( 1 + \dfrac{4}{4n} \right)} \right)$$
De fait :
$$v_n = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{4n} \left( - \left( 1 + \dfrac{1}{4n} \right)^{-1} - \left( 1 + \dfrac{2}{4n} \right)^{-1} + \left( 1 + \dfrac{3}{4n} \right)^{-1} + \left( 1 + \dfrac{4}{4n} \right)^{-1} \right)$$
Par passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$ on obtient :
$$v_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{4n} \left( - \left( 1 - \dfrac{1}{4n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)\right) - \left( 1 - \dfrac{2}{4n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right) \right) + \left( 1 - \dfrac{3}{4n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right) \right) + \left( 1 - \dfrac{4}{4n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right) \right) \right)$$
D'où :
$$v_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{4n} \left( - 1 + \dfrac{1}{4n} - 1 + \dfrac{2}{4n} + 1 - \dfrac{3}{4n} + 1 - \dfrac{4}{4n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)\right)$$
Ce qui nous donne :
$$v_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{4n} \left( \dfrac{1}{4n} + \dfrac{2}{4n} - \dfrac{3}{4n} - \dfrac{4}{4n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)\right)$$
Ainsi :
$$v_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{4n} \left( - \dfrac{4}{4n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)\right)$$
De fait :
$$v_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{4n} \left( - \dfrac{1}{n} + o\left( \dfrac{1}{n} \right)\right)$$
Nous pouvons donc écrire que :
$$v_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} \dfrac{\sqrt{2}}{2} \dfrac{1}{4} \left( - \dfrac{1}{n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right)\right)$$
On obtient :
$$v_n \underset{n \longrightarrow + \infty}{=} - \dfrac{\sqrt{2}}{8} \dfrac{1}{n^2} + o\left( \dfrac{1}{n^2} \right)$$
On constate que les deux termes présents engendrent deux séries qui sont convergentes.
De fait la série $$\sum_{n=0}^{+\infty} v_n$$ est convergente. Ceci permet d'affirmer que la série numérique $$S = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n = \sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{\cos \left( \dfrac{\pi}{4} + n \dfrac{\pi}{2} \right)}{n}$$ est également de nature convergente.