On monte d'un niveau pour ces calculs de primitives - Exercice 1

Nous allons commencer par déterminer une relation de récurrence entre les deux primitives $$\mathcal{I}_n = \int \dfrac{1}{(1+x^2)^n} \, dx$$ et $$\mathcal{I}_{n+1} = \int \dfrac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx$$.
Pour cela, il semble que l'usage d'une intégration par parties s'impose. Pour cela écrivons :
$$\mathcal{I}_n = \int \dfrac{1}{(1+x^2)^n} \, dx = \int 1 \times\dfrac{1}{(1+x^2)^n} \, dx$$
On va intégrer $$1$$ et cela va donner $$x$$ et nous allons dériver le terme $$\dfrac{1}{(1+x^2)^n}$$ et nous avons :
$$\left( \dfrac{1}{(1+x^2)^n} \right)' = - \dfrac{\left((1+x^2)^n\right)'}{\left((1+x^2)^n\right)^2} = - \dfrac{n\left(1+x^2\right)'(1+x^2)^{n-1}}{(1+x^2)^{2n}} = -\dfrac{n2x(1+x^2)^{n-1}}{(1+x^2)^{2n}} = -\dfrac{2nx}{(1+x^2)^{2n}(1+x^2)^{-n+1}}$$
Soit :
$$\left( \dfrac{1}{(1+x^2)^n} \right)' = -\dfrac{2nx}{(1+x^2)^{2n-n+1}} = -\dfrac{2nx}{(1+x^2)^{n+1}}$$
Donc, on obtient :
$$\mathcal{I}_n = \int 1 \times \dfrac{1}{(1+x^2)^n} \, dx = x \times \dfrac{1}{(1+x^2)^n} - \int -\dfrac{2nx}{(1+x^2)^{n+1}} \times x\, dx$$
Soit :
$$\mathcal{I}_n = \int 1 \times \dfrac{1}{(1+x^2)^n} \, dx = \dfrac{x}{(1+x^2)^n} + 2n \int \dfrac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx$$
Mais, on a :
$$\int \dfrac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx = \int \dfrac{1 + x^2 - 1}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx = \int \dfrac{1 + x^2}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx - \int \dfrac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx$$
Soit encore :
$$\int \dfrac{x^2}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx = \int \dfrac{1}{(1+x^2)^{n}} \, dx - \int \dfrac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx = \mathcal{I}_{n} - \mathcal{I}_{n+1}$$
Ce qui nous donne donc :
$$\mathcal{I}_n = \dfrac{x}{(1+x^2)^n} + 2n \left( \mathcal{I}_{n} - \mathcal{I}_{n+1} \right)$$
D'où :
$$\mathcal{I}_n = \dfrac{x}{(1+x^2)^n} + 2n \mathcal{I}_{n} - 2n \mathcal{I}_{n+1}$$
Ce qui s'écrit aussi :
$$2n \mathcal{I}_{n+1} = \dfrac{x}{(1+x^2)^n} + 2n \mathcal{I}_{n} - \mathcal{I}_{n}$$
Soit la relation de récurrence suivante :
$$\mathcal{I}_{n+1} = \dfrac{1}{2n} \left( \dfrac{x}{(1+x^2)^n} + (2n-1) \mathcal{I}_{n} \right)$$
Si on pose $$n=1$$ alors on trouve que :
$$\mathcal{I}_{2} = \dfrac{1}{2 \times 1} \left( \dfrac{x}{(1+x^2)^1} + (2\times 1-1) \mathcal{I}_{1} \right)$$
Soit :
$$\mathcal{I}_{2} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{x}{1+x^2} + \mathcal{I}_{1} \right)$$
Or, on sait que :
$$\mathcal{I}_{1} = \int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x) + K \,\,\,\, (K \in \mathbb{R})$$
Finalement, on en déduit que :
$$\mathcal{I}_{2} = \dfrac{x}{2(1+x^2)} + \dfrac{1}{2}\arctan(x) + C \,\,\,\, \left( C = \dfrac{K}{2} \in \mathbb{R} \right)$$

Posons $$u = \sqrt{\dfrac{x+1}{x+3}}$$. Donc $$u^2 = \dfrac{x+1}{x+3}$$. De fait $$(x+3)u^2 = x+1$$. Ainsi, on en déduit que $$xu^2+3u^2=x+1$$. En regroupant les termes en $$x$$ on trouve que : $$xu^2-x=1-3u^2$$. En factorisant : $$x(u^2-1)=1-3u^2$$. Finalement, on trouve que :
$$x = \dfrac{1-3u^2}{u^2-1}$$
Ainsi, par dérivation de $$x$$ par rapport à $$u$$, on a :
$$\dfrac{dx}{du} = \dfrac{d}{du} \left( \dfrac{1-3u^2}{u^2-1} \right) = \dfrac{(1-3u^2)'(u^2-1)-(1-3u^2)(u^2-1)'}{(u^2-1)^2} = \dfrac{-6u(u^2-1)-(1-3u^2)2u}{(u^2-1)^2}$$
Donc :
$$\dfrac{dx}{du} = \dfrac{-6u^3+6u-2u+6u^3}{(u^2-1)^2} = \dfrac{4u}{(u^2-1)^2}$$
D'où :
$$dx = \dfrac{4u}{(u^2-1)^2} \, du$$
On a alors :
$$F(x) = \int \arctan\left( \sqrt{\dfrac{x+1}{x+3} } \right) \, dx = \int \arctan\left(u \right) \dfrac{4u}{(u^2-1)^2} \, du = 2 \int \dfrac{2u}{(u^2-1)^2} \arctan\left(u \right) \, du$$
Ce qui s'écrit encore comme :
$$F(x) = -2 \int \dfrac{-(u^2-1)'}{(u^2-1)^2} \arctan\left(u \right) \, du = -2 \int \dfrac{d}{du} \left( \dfrac{1}{u^2-1} \right) \arctan\left(u \right) \, du$$
A l'aide d'une intégration par parties, on obtient :
$$F(x) = -2 \left( \dfrac{1}{u^2-1} \arctan\left(u \right) - \int \dfrac{1}{u^2-1} \times \dfrac{1}{1+u^2} \, du \right)$$
Soit :
$$F(x) = \dfrac{-2}{u^2-1} \arctan\left(u \right) + 2 \int \dfrac{1}{(u^2-1)(1+u^2)} \, du$$
Soit encore :
$$F(x) = \dfrac{2}{1-u^2} \arctan\left(u \right) + 2 \int \dfrac{1}{(u-1)(u+1)(1+u^2)} \, du$$
La décomposition en éléments simples de l'expression $$\dfrac{1}{(u-1)(u+1)(1+u^2)}$$ nous donne :
$$\dfrac{1}{(u-1)(u+1)(1+u^2)} = \dfrac{1}{4(u-1)} - \dfrac{1}{4(u+1)} - \dfrac{1}{2(u^2+1)}$$
Ainsi :
$$F(x) = \dfrac{2}{1-u^2} \arctan\left(u \right) + 2 \int \left( \dfrac{1}{4(u-1)} - \dfrac{1}{4(u+1)} - \dfrac{1}{2(u^2+1)} \right) \, du$$
Ce qui nous donne donc :
$$F(x) = \dfrac{2}{1-u^2} \arctan\left(u \right) + 2 \left( \int \dfrac{1}{4(u-1)} \, du - \int \dfrac{1}{4(u+1)} \, du - \int \dfrac{1}{2(u^2+1)} \, du \right)$$
Également :
$$F(x) = \dfrac{2}{1-u^2} \arctan\left(u \right) + \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u-1} \, du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u+1} \, du - \int \dfrac{1}{u^2+1} \, du$$
On en déduit donc que :
$$F(x) = \dfrac{2}{1-u^2} \arctan\left(u \right) + \dfrac{1}{2} \ln(|u-1|) - \dfrac{1}{2} \ln(|u+1|) - \arctan(u) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
En regroupant les termes :
$$F(x) = \left( \dfrac{2}{1-u^2} - 1 \right) \arctan\left(u \right) + \dfrac{1}{2} \ln\left(\dfrac{|u-1|}{|u+1|}\right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
Soit encore :
$$F(x) = \left( \dfrac{2}{1-u^2} - \dfrac{1-u^2}{1-u^2} \right) \arctan\left(u \right) + \dfrac{1}{2} \ln\left(\left\vert \dfrac{u-1}{u+1} \right\vert\right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
D'où :
$$F(x) = \left( \dfrac{2-1+u^2}{1-u^2} \right) \arctan\left(u \right) + \ln\left(\sqrt{ \left\vert \dfrac{u-1}{u+1} \right\vert } \right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
On trouve donc que :
$$F(x) = \left( \dfrac{1+u^2}{1-u^2} \right) \arctan\left(u \right) + \ln\left(\sqrt{ \left\vert \dfrac{u-1}{u+1} \right\vert } \right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
Or, $$u = \sqrt{\dfrac{x+1}{x+3}}$$. Donc $$u^2 = \dfrac{x+1}{x+3}$$. De fait :
$$\dfrac{1+u^2}{1-u^2} = \dfrac{1+\dfrac{x+1}{x+3}}{1-\dfrac{x+1}{x+3}} = \dfrac{\dfrac{x+3}{x+3}+\dfrac{x+1}{x+3}}{\dfrac{x+3}{x+3}-\dfrac{x+1}{x+3}} = \dfrac{\dfrac{x+3+x+1}{x+3}}{\dfrac{x+3-x-1}{x+3}} = \dfrac{\dfrac{2x+4}{x+3}}{\dfrac{2}{x+3}} = \dfrac{2x+4}{2} = x+2$$
Puis :
$$\dfrac{u-1}{u+1} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{x+1}{x+3}}-\sqrt{\dfrac{x+3}{x+3}}}{\sqrt{\dfrac{x+1}{x+3}}+\sqrt{\dfrac{x+3}{x+3}}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}}}{\dfrac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}{\sqrt{x+3}}} = \dfrac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x+3}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}}$$
Ce qui, finalement, nous permet d'écrire que :
$$F(x) = \left( x+2 \right) \arctan\left(\sqrt{\dfrac{x+1}{x+3}} \right) + \ln\left(\sqrt{ \left\vert \dfrac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x+3}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x+3}} \right\vert } \right) + C \,\,\, (C \in \mathbb{R})$$
On peut alors écrire que :
$$F(1) = 3 \arctan\left(\sqrt{\dfrac{2}{4}} \right) + \ln\left(\sqrt{ \left\vert \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{4}}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} \right\vert } \right) + C = 3 \arctan\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}} \right) + \ln\left(\sqrt{ \left\vert \dfrac{\sqrt{2} - 2}{\sqrt{2} + 2} \right\vert } \right) + C$$
Soit :
$$F(1) = 3 \arctan\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}} \right) + \ln\left(\sqrt{ \dfrac{2 - \sqrt{2} }{2 + \sqrt{2} } } \right) + C$$
Et :
$$F(0) = 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}} \right) + \ln\left(\sqrt{ \left\vert \dfrac{\sqrt{1} - \sqrt{3}}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} \right\vert } \right) + C = 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}} \right) + \ln\left(\sqrt{ \dfrac{\sqrt{3} - \sqrt{1}}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} } \right) + C$$
Soit, puisque $$\tan\left( \sqrt{\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{\pi}{6}$$ :
$$F(0) = 2\arctan\left(\sqrt{\dfrac{1}{3}} \right) + \ln\left(\sqrt{ \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} } \right) + C = 2\dfrac{\pi}{6} + \ln\left(\sqrt{ \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} } \right) + C$$
Soit encore :
$$F(0) = \dfrac{\pi}{3} + \ln\left(\sqrt{ \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} } \right) + C$$
Donc :
$$F(1) - F(0) = \int_0^1 f(x) \, dx = 3 \arctan\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}} \right) + \ln\left(\sqrt{ \dfrac{2 - \sqrt{2} }{2 + \sqrt{2} } } \right) + C - \left( \dfrac{\pi}{3} + \ln\left(\sqrt{ \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} } \right) + C \right)$$
D'où :
$$F(1) - F(0) = \int_0^1 f(x) \, dx = 3 \arctan\left(\sqrt{\dfrac{1}{2}} \right) + \ln\left(\sqrt{ \dfrac{2 - \sqrt{2} }{2 + \sqrt{2} } } \right) - \dfrac{\pi}{3} - \ln\left(\sqrt{ \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} } \right)$$
Ce qui nous donne :
$$F(1) - F(0) = \int_0^1 f(x) \, dx= 3 \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) - \dfrac{\pi}{3} + \ln\left(\dfrac{\sqrt{ \dfrac{2 - \sqrt{2} }{2 + \sqrt{2} } }}{\sqrt{ \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} }} \right)$$
On a alors :
$$F(1) - F(0) = \int_0^1 f(x) \, dx= 3 \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) - \dfrac{\pi}{3} + \ln\left(\sqrt{\dfrac{ \dfrac{2 - \sqrt{2} }{2 + \sqrt{2} }}{\dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} }} \right)$$
Finalement :
$$F(1) - F(0) = \int_0^1 f(x) \, dx= 3 \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} \right) - \dfrac{\pi}{3} + \ln\left(\sqrt{\dfrac{(2 - \sqrt{2})(\sqrt{3} + 1) }{(2 + \sqrt{2})(\sqrt{3} - 1) }} \right) \,\ u.a. \simeq 0,576 \,\, u.a.$$
On vérifie ceci numériquement (à l'aide d'un logiciel de calculs formels ou une calculatrice), et on obtient par exemple :

On constate que dur l'intervalle d'intégration considéré $$\left[ \dfrac{\pi}{3} \,;\, \dfrac{2\pi}{3} \right]$$ la fonction $$f$$ est continue et strictement croissante, donc réalise une bijection.
On va effectuer le changerment de variable "passe par tout" de la trigonométrie classique, à savoir, on pose $$u = \tan\left( \dfrac{x}{2} \right)$$. Donc, on en déduit que $$x = 2 \arctan(u)$$, et de fait :
$$\dfrac{dx}{du} = \dfrac{d}{du} \left( 2 \arctan(u) \right) = 2 \dfrac{d}{du} \left( \arctan(u) \right) = 2 \times \dfrac{1}{1+u^2} = \dfrac{2}{1+u^2}$$
Soit :
$$dx = \dfrac{2}{1+u^2} \, du$$
Puis :
$$\sin(x) = 2\sin\left( \dfrac{x}{2} \right) \cos\left( \dfrac{x}{2} \right) = 2\dfrac{\sin\left( \dfrac{x}{2} \right)}{\cos\left( \dfrac{x}{2} \right)} \cos^2\left( \dfrac{x}{2} \right) = 2 \tan\left( \dfrac{x}{2} \right) \dfrac{1}{\dfrac{1}{\cos^2\left( \dfrac{x}{2} \right)}} = 2 \tan\left( \dfrac{x}{2} \right) \dfrac{1}{1+\tan^2\left( \dfrac{x}{2} \right)}$$
Soit :
$$\sin(x) = 2 u \dfrac{1}{1+u^2} = \dfrac{2u}{1+u^2}$$
De plus, lorsque $$x = \dfrac{\pi}{3}$$ alors $$u = \tan\left( \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$. Puis, lorsque $$x = \dfrac{2\pi}{3}$$ alors $$u = \tan\left( \dfrac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3}$$. De fait, on obtient alors :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \dfrac{2 \arctan(u)}{\dfrac{2u}{1+u^2}} \dfrac{2}{1+u^2} \, du$$
Soit :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = 2 \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \dfrac{ \arctan(u)}{u} \, du = 2 \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \dfrac{1}{u} \arctan(u) \, du$$
Il faut maintenant faire usage de la technique de l'intégration par parties. Pour cela, on va intégrer le terme \dfrac{1}{u} pour obtenir $$\ln(|u|)$$, puis dériver le terme $$\arctan(u)$$ pour obtenir $$\dfrac{1}{1+u^2}$$. On a alors :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = 2 \left( \left[ \ln(|u|) \arctan(u) \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} - \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \ln(|u|) \dfrac{1}{1+u^2} \, du \right)$$
Soit :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = 2 \left( \left[ \ln(|u|) \arctan(u) \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} - \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \ln(|u|) \dfrac{1}{1+u^2} \, du \right)$$
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = 2 \left( \left[ \ln(|u|) \arctan(u) \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} - \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \dfrac{\ln(|u|)}{1+u^2} \, du \right)$$
Notons $$I = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \dfrac{\ln(|u|)}{1+u^2} \, du$$. Effectuons le changement de variable $$u = \dfrac{1}{t}$$ (inspiré par les bornes). On en déduit que :
$$\dfrac{du}{dt} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{1}{t} \right) = -\dfrac{1}{t^2}$$
Donc :
$$du = -\dfrac{1}{t^2} \, dt$$
Puis lorsque $$u = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$ on a $$t = \sqrt{3}$$ et si $$u = \sqrt{3}$$ alors $$t = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$ . De sorte que nous ayons :
$$I = \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \dfrac{\ln(|u|)}{1+u^2} \, du = \int_{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \dfrac{\ln\left(\left| \dfrac{1}{t} \right|\right)}{1+\left( \dfrac{1}{t} \right)^2} \, \left( -\dfrac{1}{t^2} \right) \, dt = \int_{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \dfrac{-\ln\left(\left| t \right|\right)}{1+\left( \dfrac{1}{t} \right)^2} \, \left( -\dfrac{1}{t^2} \right) \, dt$$
Ce qui nous donne :
$$I = \int_{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \dfrac{\ln\left(\left| t \right|\right)}{1+ \dfrac{1}{t^2} } \, \dfrac{1}{t^2} \, dt = \int_{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \dfrac{\ln\left(\left| t \right|\right)}{t^2 + \dfrac{t^2}{t^2} } \, dt = \int_{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \dfrac{\ln\left(\left| t \right|\right)}{t^2 + 1} \, dt = - \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\dfrac{\ln\left(\left| t \right|\right)}{t^2 + 1} \, dt = - I$$
Donc $$I = - I$$ ce qui implique que $$I = 0$$. Donc, on obtient :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = 2 \left( \left[ \ln(|u|) \arctan(u) \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} -0 \right) = 2 \left( \left[ \ln(|u|) \arctan(u) \right]_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}} \right)$$
Soit encore :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = 2 \left( \ln(|\sqrt{3}|) \arctan(\sqrt{3}) - \ln\left(\left| \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right| \right) \arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = 2 \left( \ln(|\sqrt{3}|) \dfrac{\pi}{3} - \ln\left(\left| \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right| \right) \dfrac{\pi}{6} \right)$$
Comme $$\sqrt{3} > \dfrac{1}{\sqrt{3}} > 0$$, on trouve que :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = 2 \left( \ln(\sqrt{3}) \dfrac{\pi}{3} - \ln\left( \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right) \dfrac{\pi}{6} \right) = 2 \left( \ln(\sqrt{3}) \dfrac{\pi}{3} + \ln( \sqrt{3} ) \dfrac{\pi}{6} \right) = 2 \dfrac{\pi}{3} \ln(\sqrt{3}) \left( 1 + \dfrac{1}{2} \right)$$
Ainsi :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = 2 \dfrac{\pi}{3} \ln(\sqrt{3}) \left( \dfrac{3}{2} \right)$$
En simplifiant, on trouve que :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = \pi \ln(\sqrt{3}) = \pi \ln(3^{\frac{1}{2}}) = \pi \dfrac{1}{2} \ln(3)$$
Finalement :
$$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} f(x) \, dx = \dfrac{\pi}{2} \ln(3) \,\, u.a. \simeq 1,726 \,\, u.a.$$
On vérifie ceci numériquement (à l'aide d'un logiciel de calculs formels ou une calculatrice), et on obtient par exemple :

On a :
$$\sin^7(x) = \sin^6(x) \times \sin(x) = \sin^2(x) \times \sin^2(x) \times \sin^2(x) \times \sin(x)$$
D'où :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{2} \big( 1 - \cos(2x) \big) \times \dfrac{1}{2} \big( 1 - \cos(2x) \big) \times \dfrac{1}{2} \big( 1 - \cos(2x) \big) \times \sin(x) = \dfrac{1}{8} \big( 1 - \cos(2x) \big)^3 \times \sin(x)$$
Donc :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{8} \big( 1 - 3\cos(2x) + 3\cos^2(2x) - \cos^3(2x) \big) \times \sin(x)$$
Ce qui nous donne :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{8} \big( 1 - 3\cos(2x) + 3\cos^2(2x) - \cos^2(2x)\cos(2x) \big) \times \sin(x)$$
En linéarisant les deux termes $$\cos^2(2x)$$ on obtient :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{8} \left( 1 - 3\cos(2x) + 3\dfrac{1}{2} \big( 1 + \cos(4x) \big) - \dfrac{1}{2} \big( 1 + \cos(4x) \big)\cos(2x) \right) \times \sin(x)$$
Soit :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{8} \left( 1 - 3\cos(2x) + \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{2}\cos(2x) - \dfrac{1}{2}\cos(4x)\cos(2x) \right) \times \sin(x)$$
Mais aussi :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{8} \left( 1 - 3\cos(2x) + \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{2}\cos(2x) - \dfrac{1}{4}2\cos(4x)\cos(2x) \right) \times \sin(x)$$
En utilisant la formule $$\forall(a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2, \,2\cos(a)\cos(b) = \cos(a+b) + \cos(a-b)$$, on obtient :
$$2\cos(4x)\cos(2x) = \cos(6x) + \cos(2x)$$
Donc :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{8} \left( 1 - 3\cos(2x) + \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{2}\cos(2x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) - \dfrac{1}{4}\cos(2x) \right) \times \sin(x)$$
En regroupant les termes en $$\cos(2x)$$ :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{5}{2} - \dfrac{15}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) \right) \times \sin(x)$$
On a alors :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{5}{2}\sin(x) - \dfrac{15}{4}\cos(2x)\sin(x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x)\sin(x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x)\sin(x) \right)$$
Soit encore :
$$\sin^7(x) = \dfrac{1}{8} \left( \dfrac{5}{2}\sin(x) - \dfrac{15}{8}2\cos(2x)\sin(x) + \dfrac{3}{4}2\cos(4x)\sin(x) - \dfrac{1}{8}2\cos(6x)\sin(x) \right)$$
En utilisant la formule $$\forall(a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2, \,2\cos(a)\sin(b) = \sin(a+b) - \sin(a-b)$$, on obtient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2\cos(2x)\sin(x) & = & \sin(3x) - \sin(x) \\ 2\cos(4x)\sin(x) & = & \sin(5x) - \sin(3x) \\ 2\cos(6x)\sin(x) & = & \sin(7x) - \sin(5x) \\ \end{array} \right.$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$8 \sin^7(x) = \dfrac{5}{2}\sin(x) - \dfrac{15}{8}\sin(3x) + \dfrac{15}{8}\sin(x) + \dfrac{3}{4}\sin(5x) - \dfrac{3}{4}\sin(3x) - \dfrac{1}{8}\sin(7x) + \dfrac{1}{8}\sin(5x)$$
En regroupant les termes :
$$8 \sin^7(x) = \dfrac{35}{8}\sin(x) - \dfrac{21}{8}\sin(3x) + \dfrac{7}{8}\sin(5x) - \dfrac{1}{8}\sin(7x)$$
Ce qui nous donne :
$$\sin^7(x) = \dfrac{35}{64}\sin(x) - \dfrac{21}{64}\sin(3x) + \dfrac{7}{64}\sin(5x) - \dfrac{1}{64}\sin(7x)$$
On en déduit donc que :
$$\int \sin^7(x) \, dx = \dfrac{35}{64} \int \sin(x) \, dx - \dfrac{21}{64} \int \sin(3x) \, dx + \dfrac{7}{64} \int \sin(5x) \, dx - \dfrac{1}{64} \int \sin(7x) \, dx$$
D'où, avec $$C \in \mathbb{R}$$, on trouve que :
$$\int \sin^7(x) \, dx = \dfrac{35}{64} \big(-\cos(x) \big) - \dfrac{21}{64} \left(-\dfrac{1}{3}\cos(3x) \right) + \dfrac{7}{64} \left(-\dfrac{1}{5}\cos(5x) \right) - \dfrac{1}{64} \left(-\dfrac{1}{7}\cos(7x) \right) + C$$
Finalement on obtient :
$$\int \sin^7(x) \, dx = -\dfrac{1}{64} \left( 35\cos(x) - \dfrac{21}{3} \cos(3x) + \dfrac{7}{5} \cos(5x) - \dfrac{1}{7}\cos(7x) \right) + C$$