Toujours bien décomposer ! - Exercice 1

Le polynôme $$X^2+2X+2$$ est à racines complexes (le discriminant vaut $$\Delta = 2^2-4\times 1 \times 2 = 4 -8 = -4 <0$$), et le numérateur est de degré strictement inférieur au dénominateur, donc il existe des réels $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ et $$E$$ tels que :
$$F(X) = \dfrac{3X+1}{(X+1)(X^2+2X+2)^2} = \dfrac{A}{X+1} + \dfrac{BX+C}{X^2+2X+2} + \dfrac{DX+E}{(X^2+2X+2)^2}$$
Nous allons procéder par la méthode de l'identification. Pour cela, nous allons réduire au même dénominateur la décomposition en élément simples de $$F$$, puis identifier le numérateur ainsi obtenu avec $$3X+1$$.
En réduisant au même dénominateur la décomposition en élément simples de $$F$$, on obtient donc l'expression suivante :
$$F(X) = \dfrac{(A+B)X^4 + (4A+B+3C)X^3 + (8A+4B+3C+D)X^2 + (8A+2B+4C+D+E)X + 4A+2C+E}{(X+1)(X^2+2X+2)^2}$$
Par identification de ce numérateur avec $$3X+1$$, on trouve que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} A + B & = & 0 \\ 4A + B + 3C & = & 0 \\ 8A + 4B + 3C + D & = & 0 \\ 8A + 2B + 4C + D + E & = & 3 \\ 4A + 2C + E & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
On en déduit que $$B = - A$$. Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} B & = & -A \\ 4A - A + 3C & = & 0 \\ 8A - 4A + 3C + D & = & 0 \\ 8A - 2A + 4C + D + E & = & 3 \\ 4A + 2C + E & = & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} B & = & -A \\ A + C & = & 0 \\ 4A + 3C + D & = & 0 \\ 6A + 4C + D + E & = & 3 \\ 4A + 2C + E & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
On en déduit alors que $$C = -A$$ et de fait $$B = C$$. Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} B & = & -A \\ C & = & -A \\ 4A - 3A + D & = & 0 \\ 6A - 4A + D + E & = & 3 \\ 4A - 2A + E & = & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} B & = & -A \\ C & = & -A \\ A + D & = & 0 \\ 2A + D + E & = & 3 \\ 2A + E & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
On en déduit que $$D= -A$$ et que $$B = C = D$$. Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} B & = & -A \\ C & = & -A \\ D & = & -A \\ 2A - A + E & = & 3 \\ 2A + E & = & 1 \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} B & = & -A \\ C & = & -A \\ D & = & 2A \\ A + E & = & 3 \\ 2A + E & = & 1 \\ \end{array} \right.$$
La soustraction des deux dernières lignes, membres à membres, conduit à :
$$A + E - (2A + E) = 3-1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A + E - 2A - E = 2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, -A = 2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, A = -2$$
Ainsi :
$$B = C = D = 2$$
Puis :
$$E = 1 - 2A \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, E = 1 - 2 \times (-2) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, E = 1 + 4 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, E = 5$$
Donc :
$$F(X) = \dfrac{3X+1}{(X+1)(X^2+2X+2)^2} = \dfrac{-2}{X+1} + \dfrac{2X+2}{X^2+2X+2} + \dfrac{2X+5}{(X^2+2X+2)^2}$$
Finalement, la décomposition de $$F$$ en éléments simples est donnée par l'expression suivante :
$${\color{red}{\boxed{F(X) = \dfrac{3X+1}{(X+1)(X^2+2X+2)^2} = -\dfrac{2}{X+1} + \dfrac{2(X+1)}{X^2+2X+2} + \dfrac{2X+5}{(X^2+2X+2)^2} }}}$$