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Rudiments sur les polynômes

Rudiments sur les polynômes.

Définition

  • On note par K\mathbb{K} le corps des nombres réels R\mathbb{R} ou celui des nombres complexes C\mathbb{C}.
    On appelle polynôme à une indéterminée, notée XX, à coefficients dans K\mathbb{K}, toute expression de la forme :
    ∑k=0+∞ak Xk\sum_{k=0}^{+\infty} a_k \, X^k
    où (ak)(a_k) est une suite d'éléments, dans K\mathbb{K}, tous nuls sauf un nombre fini de ces éléments qui sont appelés les coefficients{\color{red}{\bf{coefficients}}} du polynômes. On admet que X0=1X^0 = 1. On a également :
    a0+∑k=1+∞ak Xka_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} a_k \, X^k
    Deux polynômes sont eˊgaux{\color{red}{\bf{égaux}}} si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients. Ce qui fait que la somme précédente est finie. On note par P(X)P(X), ou PP, cette somme finie. L'ensemble des polynômes, de l'indéterminée XX, à coefficients dans K\mathbb{K}, se note K[X]\mathbb{K}[X].

En considérant la situation dans laquelle seul le coefficient a0a_0 est non nul, qui s'identifie à K\mathbb{K}, on constate que l'ensemble K[X]\mathbb{K}[X] contient l'ensemble K\mathbb{K}. Donc on a :
K⊂K[X]{\color{blue}{\boxed{\mathbb{K} \subset \mathbb{K}[X]}}}
On appelle le polyno^me  nul{\color{red}{\bf{polynôme \,\, nul}}}, le polynôme dont tous les coefficients sont nuls. On le note simplement P=0P = 0.
On appelle mono^me{\color{red}{\bf{monôme}}}, tout polynôme dont tous les coefficients, sauf un, sont nuls. Un mono^me{\color{red}{\bf{monôme}}} est donc de la forme ak Xka_k \, X^k.
On appelle degreˊ{\color{red}{\bf{degré}}} d'un polynôme PP non nul le plus grand entier naturel nn tel que an≠0a_n \neq 0. On le note n=deg⁡(P)n = \deg(P) ou d∘(P)\mathrm{d}^{\circ}(P).
Si deg⁡(P)=n\deg(P) = n alors P(X)=a0+a1X+a2X2+⋯+anXnP(X) = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \cdots + a_n X^n avec an≠0a_n \neq 0. On note ceci : P(X)=∑k=0nak XkP(X) = \sum_{k=0}^{n} a_k \, X^k
Le monôme an Xna_n \, X^n est appelé mono^me  dominant{\color{red}{\bf{monôme \,\, dominant}}} et ana_n s'appelle le coefficient  dominant{\color{red}{\bf{coefficient \,\, dominant}}} Si an=1a_n = 1 alors le polynôme est dit unitaire{\color{red}{\bf{unitaire}}} ou normaliseˊ{\color{red}{\bf{normalisé}}}.
∢  Important:{\color{blue}{\bf{\sphericalangle \,\, Important :}}}
Le degré du polynôme nul n'est pas défini.
On appelle valuation{\color{red}{\bf{valuation}}} d'un polynôme PP non  nul{\color{red}{\bf{non \,\, nul}}} le plus petit entier naturel nn tel que an≠0a_n \neq 0. On note ceci par : val(P)=n \mathrm{val}(P)= n.

Addition des polynômes

    ∢  Deˊfinition:{\color{blue}{\bf{\sphericalangle \,\, Définition :}}}
    On pose P=∑k=0+∞ak XkP = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \, X^k et Q=∑k=0+∞bk XkQ = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \, X^k deux polynômes de K[X]\mathbb{K}[X]. On appelle le polynôme somme, noté P+QP+Q, le polynôme suivant :
    P+Q=∑k=0+∞(ak+bk) XkP+Q = \sum_{k=0}^{+\infty} (a_k+b_k) \, X^k
    Ce qui implique que :
    deg⁡(P+Q)⩽max⁡(deg⁡(P) ; deg⁡(Q)){\color{red}{\boxed{\deg(P+Q) \leqslant \max\big( \deg(P) \,;\, \deg(Q) \big) }}}
    On appelle le  symeˊtrique{\color{red}{\bf{le \,\, symétrique}}} de P=∑k=0+∞ak XkP = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \, X^k, pour l'addition, l′opposeˊ{\color{red}{\bf{l'opposé}}}, et est noté −P-P. Et on a :
    −P=−∑k=0+∞ak Xk=∑k=0+∞(−ak) Xk-P = - \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \, X^k = \sum_{k=0}^{+\infty} (-a_k) \, X^k
L'addition confère à l'ensemble des polynômes une structure de groupe abélien. On note (K[X] ; +)\big( \mathbb{K}[X] \,;\, + \big) ce groupe abélien.

Multiplication des polynômes

    ∢  Deˊfinition:{\color{blue}{\bf{\sphericalangle \,\, Définition :}}}
    On pose P=∑k=0+∞ak XkP = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \, X^k et Q=∑k=0+∞bk XkQ = \sum_{k=0}^{+\infty} b_k \, X^k deux polynômes de K[X]\mathbb{K}[X]. On appelle le polynôme produit, noté PQ=P×QPQ = P \times Q, le polynôme suivant :
    PQ=∑k=0+∞ck XkPQ = \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \, X^k
    Avec :
    ck=∑i=0nak−ibi=akb0+ak−1b1+ak−2b2+⋯+a2bk−2+a1bk−1+a0bkc_k = \sum_{i=0}^{n} a_{k-i}b_i = a_k b_0 + a_{k-1}b_1 + a_{k-2}b_2 + \cdots + a_{2}b_{k-2} + a_{1}b_{k-1} + a_0 b_k
    Ce qui implique que :
    deg⁡(PQ)=deg⁡(P)+deg⁡(Q){\color{red}{\boxed{\deg(P Q) = \deg(P) + \deg(Q) }}}
    La multiplication des polynômes est commutative, associative, distributive par rapport à l'addition et admet le polynôme P=1P=1 comme élément neutre.
L'addition et la multiplication confère à l'ensemble des polynômes une structure d'anneau commutatif intègre. On note (K[X] ; + ; ×)\big( \mathbb{K}[X] \,;\, + \,;\, \times \big) cet anneau commutatif intègre.
L'ensemble K[X]\mathbb{K}[X] n'est pas un corps.

Multiplication par un scalaire

    ∢  Deˊfinition:{\color{blue}{\bf{\sphericalangle \,\, Définition :}}}
    On pose P=∑k=0+∞ak XkP = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \, X^k un polynôme de K[X]\mathbb{K}[X], et λ\lambda un nombre réel. On pose :
    λP=λ∑k=0+∞ak Xk=∑k=0+∞(λak) Xk\lambda P = \lambda \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \, X^k = \sum_{k=0}^{+\infty} (\lambda a_k) \, X^k
    Si on pose λ\lambda et μ\mu deux scalaire de K\mathbb{K}, et PP et QQ deux polynômes de K[X]\mathbb{K}[X]. On a les quatre propriétés suivantes :
    1−λ(μP)=(λμ)P1 - \lambda (\mu P) = (\lambda \mu) P
    2−(λ+μ)P=λP+μP2 - (\lambda + \mu)P = \lambda P + \mu P
    3−1P=P3 - 1P = P
    4−λ(P+Q)=λP+λQ4 - \lambda (P+Q) = \lambda P + \lambda Q
    De ces quatre propriétés, on en déduit que l'ensemble des polynômes, relativement à l'addition et la multiplication par un scalaire, à une structure d'espace  vectoriel{\color{red}{\bf{espace \,\, vectoriel}}} sur K\mathbb{K} (souvent noté en abrégé K−ev\mathbb{K}-{\color{red}{\bf{ev}}}).
    D'ailleurs, les n+1  (n∈N)n+1 \,\, (n \in \mathbb{N}) monômes X0=1X^0=1, X1=1X^1=1, X2X^2, X3X^3, ... , XnX^n constituent une base de dimension n+1n+1 pour l'espace vectoriel des polynômes de degré au plus égal à nn. Autrement dit, il est possible d'écrire de manieˋre  unique{\color{red}{\bf{manière \,\, unique}}}, juste à l'aide des monômes X0=1X^0=1, X1=1X^1=1, X2X^2, X3X^3, ... , XnX^n, n'importe quel polynôme de degré maximal nn.

Polynôme dérivé

    ∢  Deˊfinition:{\color{blue}{\bf{\sphericalangle \,\, Définition :}}}
    On appelle polyno^me  deˊriveˊ{\color{red}{\bf{polynôme \,\, dérivé}}} de P=∑k=0+∞ak XkP = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k \, X^k le polynôme, noté P′P', suivant :
    P′=∑k=0+∞kak Xk−1=∑k=1+∞kak Xk−1P' = \sum_{k=0}^{+\infty} ka_k \, X^{k-1} = \sum_{k=1}^{+\infty} ka_k \, X^{k-1}
    Comme le premier terme de cette (première) somme est nul (cas k=0k=0). Il est possible de réindicer cette somme de manière à ne plus avoir le premier terme nul. On a alors :
    P′=∑k=0+∞(k+1)ak+1 XkP' = \sum_{k=0}^{+\infty} (k+1)a_{k+1} \, X^{k}
    Et on a les dix propriétés suivantes :
    1−(P+Q)′=P′+Q′1 - (P+Q)' = P'+Q'
    1−(P−Q)′=P′−Q′1 - (P-Q)' = P'-Q'
    2−(λP)′=λP′2 - (\lambda P)' = \lambda P'
    3−1P=P3 - 1P = P
    4−(PQ)′=P′Q+PQ′4 - (PQ)' = P'Q + PQ'
    5−(PQ)′=P′Q−PQ′Q25 - \left(\dfrac{P}{Q}\right)' = \dfrac{P'Q - PQ'}{Q^2}
    6−(Pn)′=nP′Pn−16 - \left(P^n\right)' = nP'P^{n-1}
    7−P(0)=P7 - P^{(0)} = P
    8−P(1)=P′8 - P^{(1)} = P'
    9−P(2)=(P(1))′=(P′)′=P′′9 - P^{(2)} = \left(P^{(1)}\right)' = \left(P'\right)' = P''
    10−(P(n))′=P(n+1)10 - \left(P^{(n)}\right)' = P^{(n+1)}

Polynôme Mac Laurin et Taylor

    ∢  Deˊfinition:{\color{blue}{\bf{\sphericalangle \,\, Définition :}}}
    Un polynôme non nul PP de degré nn s'écrit sous la forme :
    P=∑k=0nak Xk=a0+a1X+a2X2+a3X3+⋯+anXn    ⟹    P(0)=a0P = \sum_{k=0}^{n} a_{k} \, X^{k} = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + a_3 X^3 + \cdots + a_n X^n \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, P(0) = a_0
    Donc :
    P′=∑k=1nkak Xk−1=a1+2a2X+3a3X2+⋯+nanXn−1    ⟹    P′(0)=a1P' = \sum_{k=1}^{n} k a_{k} \, X^{k-1} = a_1 + 2a_2 X + 3a_3 X^2 + \cdots + na_n X^{n-1} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, P'(0) = a_1
    Puis :
    P′′=∑k=1nk(k−1)ak Xk−2=2a2+6a3X+⋯+n(n−1)anXn−1    ⟹    P′′(0)=2a2=1×2a2P'' = \sum_{k=1}^{n} k(k-1) a_{k} \, X^{k-2} = 2a_2 + 6a_3 X + \cdots + n(n-1)a_n X^{n-1} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, P''(0) = 2a_2 = 1 \times 2 a_2
    D'où :
    P′′′=∑k=1nk(k−1)(k−2)ak Xk−3=6a3+⋯+n(n−1)(n−2)anXn−2    ⟹    P′′′(0)=6a3=1×2×3a3P''' = \sum_{k=1}^{n} k(k-1)(k-2) a_{k} \, X^{k-3} = 6a_3 + \cdots + n(n-1)(n-2)a_n X^{n-2} \,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\, P'''(0) = 6a_3 = 1 \times 2 \times 3 a_3
    On constate alors que, de proche en proche, nous obtenons :
    P(n)(0)=1×2×3⋯×n an=n! anP^{(n)}(0) = 1 \times 2 \times 3 \cdots \times n \, a_n = n! \, a_n
    On a donc :
    an=P(n)(0)n!a_n = \dfrac{P^{(n)}(0)}{n !}
    En se souvenant que dans le cas n=0n = 0 on a a0=P(0)(0)0!=P(0)1=P(0)a_0 = \dfrac{P^{(0)}(0)}{0 !} = \dfrac{P(0)}{1} = P(0), on peut donc écrire le polynômes PP sous la forme suivante :
    P=∑k=0nak Xk=∑k=0nP(k)(0)k! Xk=P(0)+P′(0)X+P′′(0)2X2+P′′′(0)6X3+⋯+P(n)(0)n!XnP = \sum_{k=0}^{n} a_{k} \, X^{k} = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{P^{(k)}(0)}{k !} \, X^{k} = P(0) + P'(0) X + \dfrac{P''(0)}{2} X^2 + \dfrac{P'''(0)}{6} X^3 + \cdots + \dfrac{P^{(n)}(0)}{n !} X^n
    Finalement, on obtient la  formule  de  MacLaurin{\color{red}{\bf{la \,\, formule \,\, de \,\, MacLaurin}}} (Colin MacLaurin, mathématicien écossais, 1698-1746) :
    P(X)=P(0)+P′(0) X+12!P′′(0) X2+13!P′′′(0) X3+⋯+1n!P(n)(0) Xn{\color{red}{\boxed{P(X) = P(0) + P'(0) \, X + \dfrac{1}{2!}P''(0) \, X^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(0) \, X^3 + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(0) \, X^n }}}
    Soit h∈Kh \in \mathbb{K}. Posons Q(X)=P(X+h)Q(X) = P(X+h). La formule  de  MacLaurin{\color{blue}{\bf{formule \,\, de \,\, MacLaurin}}} nous donne alors :
    Q(X)=Q(0)+Q′(0) X+12!Q′′(0) X2+13!Q′′′(0) X3+⋯+1n!Q(n)(0) XnQ(X) = Q(0) + Q'(0) \, X + \dfrac{1}{2!}Q''(0) \, X^2 + \dfrac{1}{3!} Q'''(0) \, X^3 + \cdots + \dfrac{1}{n !} Q^{(n)}(0) \, X^n
    On a alors, par dérivation composée :
    Q′(X)=(P(X+h))′=(X+h)′P′(X+h)=1×P′(X+h)=P′(X+h)Q'(X) = \big(P(X+h)\big)' = (X+h)'P'(X+h) = 1 \times P'(X+h) = P'(X+h)
    D'où :
    Q′(0)=P′(0+h)=P′(h)Q'(0) = P'(0+h) = P'(h)
    On trouve alors que Q(n)(0)=P(n)(h)Q^{(n)}(0) = P^{(n)}(h). De plus, Q(0)=P(0+h)=P(h)Q(0) = P(0+h) = P(h). La formule  de  MacLaurin{\color{blue}{\bf{formule \,\, de \,\, MacLaurin}}} nous donne alors :
    P(X+h)=P(h)+P′(h) X+12!P′′(h) X2+13!P′′′(h) X3+⋯+1n!P(n)(h) Xn{\color{red}{\boxed{P(X+h) = P(h) + P'(h) \, X + \dfrac{1}{2!}P''(h) \, X^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(h) \, X^3 + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(h) \, X^n}}}
    Il s'agit de la  formule  de  Taylor{\color{red}{\bf{la \,\, formule \,\, de \,\, Taylor}}} (Brook Taylor, mathématicien anglais, 1685-1731)
De la formule précédente, on tire que :
P(X+h)−P(h)=P′(h) X+12!P′′(h) X2+13!P′′′(h) X3+⋯+1n!P(n)(h) XnP(X+h) - P(h) = P'(h) \, X + \dfrac{1}{2!}P''(h) \, X^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(h) \, X^3 + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(h) \, X^n
Soit encore :
P(X+h)−P(h)X=P′(h)+12!P′′(h) X+13!P′′′(h) X2+⋯+1n!P(n)(h) Xn−1\dfrac{P(X+h) - P(h)}{X} = P'(h) + \dfrac{1}{2!}P''(h) \, X + \dfrac{1}{3!} P'''(h) \, X^2 + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(h) \, X^{n-1}
D'où :
lim⁡X⟶0P(X+h)−P(h)X=lim⁡X⟶0(P′(h)+12!P′′(h) X+13!P′′′(h) X2+⋯+1n!P(n)(h) Xn−1){\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}}\dfrac{P(X+h) - P(h)}{X} = {\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}} \left( P'(h) + \dfrac{1}{2!}P''(h) \, X + \dfrac{1}{3!} P'''(h) \, X^2 + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(h) \, X^{n-1} \right)
Soit :
lim⁡X⟶0P(X+h)−P(h)X=lim⁡X⟶0P′(h)+lim⁡X⟶0(12!P′′(h) X+13!P′′′(h) X2+⋯+1n!P(n)(h) Xn−1){\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}}\dfrac{P(X+h) - P(h)}{X} = {\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}} P'(h) + {\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}} \left(\dfrac{1}{2!}P''(h) \, X + \dfrac{1}{3!} P'''(h) \, X^2 + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(h) \, X^{n-1} \right)
Or, P′(h)∈KP'(h) \in \mathbb{K}, donc lim⁡X⟶0P′(h)=P′(h){\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}} P'(h) = P'(h). Ce qui nous donne immédiatement :
lim⁡X⟶0P(X+h)−P(h)X=P′(h)+lim⁡X⟶0(12!P′′(h) X+13!P′′′(h) X2+⋯+1n!P(n)(h) Xn−1){\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}}\dfrac{P(X+h) - P(h)}{X} = P'(h) + {\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}} \left(\dfrac{1}{2!}P''(h) \, X + \dfrac{1}{3!} P'''(h) \, X^2 + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(h) \, X^{n-1} \right)
De plus, on a lim⁡X⟶0(12!P′′(h) X+13!P′′′(h) X2+⋯+1n!P(n)(h) Xn−1)=0{\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}} \left(\dfrac{1}{2!}P''(h) \, X + \dfrac{1}{3!} P'''(h) \, X^2 + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(h) \, X^{n-1} \right) = 0. Ainsi, on obtient :
lim⁡X⟶0P(X+h)−P(h)X=P′(h){\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}}\dfrac{P(X+h) - P(h)}{X} = P'(h)
On reconnais la formule qui sert de définition de dérivée de PP en hh, usuellement écrite sous la forme :
P′(h)=lim⁡X⟶0P(h+X)−P(h)XP'(h) = {\color{green}{\lim_{X \longrightarrow0}}}\dfrac{P(h+X) - P(h)}{X}
Ceci montre la cohérence de l'ensemble des développements.

Multiplicité d'une racine d'un polynôme

Définition

    ∢  Deˊfinition:{\color{blue}{\bf{\sphericalangle \,\, Définition :}}}
    Soit r∈Kr \in \mathbb{K}.
    On appelle racine{\color{red}{\bf{racine}}} d'un polynôme PP, le scalaire rr qui vérifie P(r)=0{\color{red}{\boxed{P(r) = 0}}}.
    On appelle ordre  de  multipliciteˊ  de  la  racine  r{\color{red}{\bf{ordre \,\, de \,\, multiplicité \,\, de \,\, la \,\, racine \,\, }}r}, de P≠0P \neq 0, de degré n∈Nn \in \mathbb{N}, le plus grand nombre entier naturel p⩽np \leqslant n qui rend le polynôme (non nul) PP divisible{\color{red}{\bf{divisible}}} par (X−r)p{\color{red}{(X-r)^p}}. Autrement écrit :
    P(X)∣(X−r)p   ⟺   P(X)(X−r)p=Q(X)∈K[X]    deg⁡(Q)=n−p{\color{red}{\boxed{P(X) \big\vert (X-r)^p \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{P(X) }{(X-r)^p} = Q(X) \in \mathbb{K}[X] \,\,\,\, \deg(Q) = n-p}}}
    Dans la  formule  de  Taylor{\color{blue}{\bf{la \,\, formule \,\, de \,\, Taylor}}} de P≠0P \neq 0, posons h=rh = r et X=X−rX = \mathrm{X} - r.
    Dans ce cas :
    X+h=X−r+h=X−r+r=XX+h = \mathrm{X} - r + h = \mathrm{X} - r + r = \mathrm{X}
    On a alors :
    P(X)=P(r)+P′(r) (X−r)+12!P′′(r) (X−r)2+13!P′′′(r) (X−r)3+⋯+1n!P(n)(r) (X−r)nP(\mathrm{X}) = P(r) + P'(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big) + \dfrac{1}{2!}P''(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^3 + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^n
    Dans cette expression, faisons clairement apparaitre le nombre entier naturel p⩽np \leqslant n. On a alors :
    P(X)=P(r)+P′(r) (X−r)+12!P′′(r) (X−r)2+13!P′′′(r) (X−r)3+⋯+1(p−1)!P(p−1)(r) (X−r)p−1+1p!P(p)(r) (X−r)p+1(p+1)!P(p+1)(r) (X−r)p+1+⋯+1n!P(n)(r) (X−r)n\begin{array}{rcl} P(\mathrm{X}) & = & P(r) + P'(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big) + \dfrac{1}{2!}P''(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^3 + \cdots + \dfrac{1}{(p-1) !} P^{(p-1)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^{p-1} \\ & + & \dfrac{1}{p !} P^{(p)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^p + \dfrac{1}{(p+1) !} P^{(p+1)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^{p+1} + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^n \\ \end{array}
    Soit encore :
    P(X)=P(r)+P′(r) (X−r)+12!P′′(r) (X−r)2+13!P′′′(r) (X−r)3+⋯+1(p−1)!P(p−1)(r) (X−r)p−1+(X−r)p(1p!P(p)(r)+1(p+1)!P(p+1)(r) (X−r)+⋯+1n!P(n)(r) (X−r)n−p)\begin{array}{rcl} P(\mathrm{X}) & = & P(r) + P'(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big) + \dfrac{1}{2!}P''(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^3 + \cdots + \dfrac{1}{(p-1) !} P^{(p-1)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^{p-1} \\ & + & \big( \mathrm{X} - r \big)^p\left( \dfrac{1}{p !} P^{(p)}(r) + \dfrac{1}{(p+1) !} P^{(p+1)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big) + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^{n-p} \right) \\ \end{array}
    Notons par R(X)\mathcal{R}(\mathrm{X}) la première ligne du développement précédent de P(X)P(\mathrm{X}). Donc :
    P(X)=R(X)+(X−r)p(1p!P(p)(r)+1(p+1)!P(p+1)(r) (X−r)+⋯+1n!P(n)(r) (X−r)n−p)\begin{array}{rcl} P(\mathrm{X}) & = & \mathcal{R}(\mathrm{X}) \\ & + & \big( \mathrm{X} - r \big)^p\left( \dfrac{1}{p !} P^{(p)}(r) + \dfrac{1}{(p+1) !} P^{(p+1)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big) + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^{n-p} \right) \\ \end{array}
    Avec :
    R(X)=P(r)+P′(r) (X−r)+12!P′′(r) (X−r)2+13!P′′′(r) (X−r)3+⋯+1(p−1)!P(p−1)(r) (X−r)p−1\mathcal{R}(\mathrm{X}) = P(r) + P'(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big) + \dfrac{1}{2!}P''(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^3 + \cdots + \dfrac{1}{(p-1) !} P^{(p-1)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^{p-1}
    Supposons maintenant que rr soit une racine d'ordre pp du polynôme PP. Ainsi le polynôme PP est divisible par les tous les termes suivants : (X−r)\big( \mathrm{X} - r \big), (X−r)2\big( \mathrm{X} - r \big)^2, (X−r)3\big( \mathrm{X} - r \big)^3, ⋯\cdots , (X−r)p−1\big( \mathrm{X} - r \big)^{p-1} et (X−r)p\big( \mathrm{X} - r \big)^p. De plus, on a bien évidemment P(r)=0P(r)=0.
    Dans ce cas, avec Q(X)∈K[X]Q(\mathrm{X}) \in \mathbb{K}[\mathrm{X}], on a
    P(X)(X−r)p=Q(X)∈K[X]\dfrac{P(\mathrm{X})}{\big( \mathrm{X} - r \big)^p} = Q(\mathrm{X}) \in \mathbb{K}[\mathrm{X}]
    Soit :
    R(X)+(X−r)p(1p!P(p)(r)+1(p+1)!P(p+1)(r) (X−r)+⋯+1n!P(n)(r) (X−r)n−p)(X−r)p=Q(X)∈K[X]\dfrac{\mathcal{R}(\mathrm{X}) + \big( \mathrm{X} - r \big)^p\left( \dfrac{1}{p !} P^{(p)}(r) + \dfrac{1}{(p+1) !} P^{(p+1)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big) + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^{n-p} \right)}{\big( \mathrm{X} - r \big)^p} = Q(\mathrm{X}) \in \mathbb{K}[\mathrm{X}]
    Soit encore :
    R(X)(X−r)p+1p!P(p)(r)+1(p+1)!P(p+1)(r) (X−r)+⋯+1n!P(n)(r) (X−r)n−p=Q(X)∈K[X]\dfrac{\mathcal{R}(\mathrm{X})}{\big( \mathrm{X} - r \big)^p} + \dfrac{1}{p !} P^{(p)}(r) + \dfrac{1}{(p+1) !} P^{(p+1)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big) + \cdots + \dfrac{1}{n !} P^{(n)}(r) \, \big( \mathrm{X} - r \big)^{n-p} = Q(\mathrm{X}) \in \mathbb{K}[\mathrm{X}]
    On doit donc avoir obligatoirement R(X)=0\mathcal{R}(\mathrm{X}) = 0.
    Nous pouvons imaginer que l'indéterminée de R\mathcal{R} ne soit pas X\mathrm{X} mais X−r\mathrm{X} - r. Posons donc X−r=T\mathrm{X} - r = T, et de fait :
    R(T)=P(r)+P′(r) T+12!P′′(r) T2+13!P′′′(r) T3+⋯+1(p−1)!P(p−1)(r) Tp−1\mathcal{R}(T) = P(r) + P'(r) \, T + \dfrac{1}{2!}P''(r) \, T^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(r) \, T^3 + \cdots + \dfrac{1}{(p-1) !} P^{(p-1)}(r) \, T^{p-1}
    A savoir :
    0=P(r)+P′(r) T+12!P′′(r) T2+13!P′′′(r) T3+⋯+1(p−1)!P(p−1)(r) Tp−10 = P(r) + P'(r) \, T + \dfrac{1}{2!}P''(r) \, T^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(r) \, T^3 + \cdots + \dfrac{1}{(p-1) !} P^{(p-1)}(r) \, T^{p-1}
    Or, rappelons que P(r)=0P(r) = 0 car, par hypothèse, rr est une racine du polynôme PP. Donc :
    0=0+P′(r) T+12!P′′(r) T2+13!P′′′(r) T3+⋯+1(p−1)!P(p−1)(r) Tp−10 = 0 + P'(r) \, T + \dfrac{1}{2!}P''(r) \, T^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(r) \, T^3 + \cdots + \dfrac{1}{(p-1) !} P^{(p-1)}(r) \, T^{p-1}
    Soit :
    P′(r) T+12!P′′(r) T2+13!P′′′(r) T3+⋯+1(p−1)!P(p−1)(r) Tp−1=0P'(r) \, T + \dfrac{1}{2!}P''(r) \, T^2 + \dfrac{1}{3!} P'''(r) \, T^3 + \cdots + \dfrac{1}{(p-1) !} P^{(p-1)}(r) \, T^{p-1} = 0
    Ceci implique donc que P′(r)=P′′(r)=P′′′(r)=⋯=P(p−1)(r)=0P'(r) = P''(r) = P'''(r) = \cdots = P^{(p-1)}(r) = 0
    Finalement, nous arrivons à la conclusion suivante :
    Si  r  est  une  racine  d′ordre  p⩽n  du  polyno^me  P  alors  P(r)=P′(r)=⋯=P(p−1)(r)=0  et  P(p)(r)≠0{\color{red}{\boxed{{\bf{Si \,\,}} r {\bf{\,\, est \,\, une \,\, racine \,\, d'ordre \,\,}} p \leqslant n {\bf{\,\, du \,\, polynôme \,\, }} P {\bf{\,\, alors \,\,}} P(r) = P'(r) = \cdots = P^{(p-1)}(r) = 0 {\bf{\,\, et \,\, }} P^{(p)}(r) \neq 0}}}

Division euclidienne de deux polynômes

Le théorème de la division euclidienne de deux polynômes


Soient AA et BB deux polynômes à coefficients dans K\mathbb{K}, avec BB non nul, il existe un  unique{\color{red}{\bf{un \,\, unique}}} couple (Q ; R)\left(Q \,;\, R\right) tel que :
A=BQ+RA = BQ + R
Avec le degré de RR est strictement  plus  petit{\color{red}{\bf{strictement \,\, plus \,\, petit}}} que celui de BB. Le polynôme AA est le dividende et le polynôme BB est le diviseur. Le polynôme QQ est le quotient et le polynôme RR est le reste. On retiendra :
Lorsque le reste R=0R=0, on dit que AA est divisible{\color{red}{\bf{divisible}}} par BB ou, de manière équivalente, que BB divise{\color{red}{\bf{divise}}} AA. On note ceci : A∣BA \big\vert B.
Bien souvent, dans la pratique, on a deg⁡(A)⩾deg⁡(B)\deg(A) \geqslant \deg(B). Dans ce cas, on obtient séquence type que nous allons illustrer.
Pour l'exécution d'une division euclidienne, on écrit les deux polynômes AA et BB selon les puissances décroissantes. Donc on écrit les deux polynômes AA et BB en commençant par leur monôme dominant respectif.
Rappelons que l'on stoppe la séquence calculatoire lorsqu'à gauche, à l'issue de la soustraction (donc sous un trait horizontal), le degré du polynôme obtenu est inférieur à celui du diviseur.
Posons A=2X3−X2−2X+1A = 2X^3 - X^2 - 2X + 1 et B=X2+X+1B = X^2 + X + 1. Dans ce cas, on a la séquence calculatoire suivante :
Et on a :
2X3−X2−2X+1=(X2+X+1)×(2X−3)+(−X+4)2X^3 - X^2 - 2X + 1 = (X^2 + X + 1) \times (2X-3) + (-X+4)
Le quotient est Q=2X−3Q = 2X-3 et le reste est R=−X+4R = -X+4.
Illustrons maintenant la situation dans laquelle le reste est nul, c'est-à-dire le cas pour lequel BB divise AA (le diviseur divise le dividende, ou encore le dividende est divisible par le diviseur).
Posons A=X3+4X2+X−6A = X^3 + 4X^2 + X - 6 et B=2X2+10X+12B = 2X^2 + 10X + 12. Dans ce cas, on a la séquence calculatoire suivante :

Et on a :
X3+4X2+X−6=(2X2+10X+12)×(12X−12)+(0)X^3 + 4X^2 + X - 6 = \left(2X^2 + 10X + 12\right) \times \left(\dfrac{1}{2}X - \dfrac{1}{2}\right) + (0)
Le quotient est Q=12X−12Q = \dfrac{1}{2}X - \dfrac{1}{2} et le reste est R=0R = 0.
Dans le dividiende, lorsqu'un coefficient (se trouvant devant un terme Xi,  i∈[ ⁣[1 ; n] ⁣]X^i, \,\, i \in [\![ 1\,;\, n]\!]) est nul, on l'indique clairement dans la division euclidienne en écrivant 0Xi0 X^i.

Division selon les puissances croissantes de deux polynômes

Définition


    Il est également possible d'écrire les deux polynômes AA et BB selon les puissances croissantes de leur indéterminée. Cette technique est utile pour effectuer des décomposition en éléments simples de fractions rationnelles polynomiales.
    On considère les deux polynômes non nul AA et BB suivants :
    {A=a0+a1X+⋯+anXnB=b0+b1X+⋯+bnXn\left\lbrace \begin{array}{rcl} A & = & a_0 + a_1 X + \cdots + a_n X^n \\ B & = & b_0 + b_1 X + \cdots + b_n X^n \\ \end{array} \right.
    Avec b0≠0b_0 \neq 0, autrement dit val(B)=0\mathrm{val}(B) =0.
    Dans ce cas, pour tout nombre entier naturel mm, il existe un couple unique de polynôme (Q ; R)(Q \,;\, R), tel que deg⁡(Q)⩽m\deg(Q) \leqslant m, et qui permet d'écrire :
    A=BQ+Xm+1RA = BQ + X^{m+1}R. Le polynôme QQ s'appelle le quotient et le polynôme Xm+1RX^{m+1}R s'appelle le reste de la division suivant les puissances croissantes de AA et BB aˋ  l′ordre  m{\color{red}{\bf{à \,\, l'ordre \,\,}}m}.
    Si le reste de la division suivant les puissances croissantes de AA et BB est nul, à un certain moment, alors AA est divisible par BB.
    Contrairement à la division euclidienne, on peut la continuer indéfiniment : on ne s'arrête que quand l'ordre désiré est atteint. Par exemple, pour diviser A=X+1A=X+1 par B=X2+1 B=X^2+1, à l'ordre 2{\color{blue}{2}}, on écrit :
    Ainsi, on écrit que :
    X+1=(1+X2)×(1+X−X2)+(−X3+X4)X+1 = (1+X^2) \times (1+X-X^2) + (-X^3+X^4)
    Soit encore :
    X+1=(1+X2)×(1+X−X2)+X3(−1+X)X+1 = (1+X^2) \times (1+X-X^2) + X^3(-1+X)
    Finalement :
    X+1=(1+X2)×(1+X−X2)+X2+1(−1+X)X+1 = (1+X^2) \times (1+X-X^2) + X^{{\color{blue}{2}}+1}(-1+X)
    On peut, par exemple, s'en servir pour décomposer la fraction rationnelle AX3B=1+XX3(1+X2)\dfrac{A}{X^3B} = \dfrac{1+X}{X^3(1+X^2)} en éléments simples. En effet, nous avons :
    1+XX3(1+X2)=(1+X2)(1+X−X2)+X3(X−1)X3(1+X2)=1X3+1X2−1X+X−1X2+1\dfrac{1+X}{X^3(1+X^2)} = \dfrac{(1+X^2)(1+X-X^2)+X^3(X-1)}{X^3(1+X^2)} = \dfrac{1}{X^3}+\frac{1}{X^2} -\dfrac{1}{X}+\frac{X-1}{X^2+1}
    Illustrons cette méthode sur un autre exemple avec les polynômes suivants :
    A=1+3X+2X2−7X3A=1+3X+2X^2-7X^3 et B=1+X−2X2B=1+X-2X^2
    On a alors, à l'ordre 3{\color{blue}{3}}, la séquence calculatoire suivante :
    Et on peut alors écrire :
    1+3X+2X2−7X3⏟A=(1+X−2X2)⏟B(1+2X+2X2−5X3)⏟Q+X3+1(9−10X)⏟R\underbrace {1+3X+2X^{2}-7X^{3}} _{A}=\underbrace {(1+X-2X^{2})} _{B}\underbrace {(1+2X+2X^{2}-5X^{3})} _{Q}+X^{{\color{blue}{3}}+1}\underbrace {(9-10X)} _{R}

Division par le terme X−a{\color{dodgerblue}{X-a}}

La division de PP par X−aX-a s'écrit :
P(X)=(X−a)Q(X)+R(X)P(X) =(X-a)Q(X)+R(X)
Posons X=aX = a, et dans ce cas, nous obtenons :
P(a)=(a−a)Q(a)+R(a)   ⟺   P(a)=R(a)P(a) =(a-a)Q(a)+R(a) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P(a) = R(a)
Donc, on en déduit que :
(P(X)∣(X−a))   ⟺   P(a)=0{\color{red}{\boxed{ \left( P(X)\big\vert (X-a)\right) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, P(a)=0}}}
Si un polynôme PP admet k∈Nk \in \mathbb{N} racines r1r_1, r2r_2, ⋯\cdots, rkr_k (pas forcément distinctes entre elles, donc certaines peuvent être multiples) alors ce polynôme PP peut se factoriser sous la forme suivante :
P=(X−r1)(X−r2)⋯(X−rk)QP = (X-r_1)(X-r_2) \cdots (X-r_k) Q
Avec Q∈K[X]Q \in \mathbb{K}[X], et deg⁡(Q)=deg⁡(P)−k\deg(Q) = \deg(P) - k.
Un polynôme PP de K[X]\mathbb{K}[X], de degré n∈N⋆n \in \mathbb{N}^\star est dit scindeˊ{\color{red}{\bf{scindé}}} sur K\mathbb{K} s'il se factorise sous la forme :
P=an(X−r1)(X−r2)⋯(X−rn)P = a_n (X-r_1)(X-r_2) \cdots (X-r_n)
où r1r_1, r2r_2, ⋯\cdots, rnr_n sont les nn racines de PP et ana_n est le coefficient dominant de PP.
Autrement dit, PP est scindeˊ{\color{red}{\bf{scindé}}} s'il s'écrit comme produit de polynômes de degré 11 à coefficients dans K\mathbb{K}. D'où :
P(X)=∏k=1n(X−rk)P(X) = \prod_{k =1}^{n} (X - r_k)

Le théorème de D'Alembert et Gauss

Historiquement, ce théorème est démontré rigoureusement par GaussGauss en 1815. Il s'agit en fait de sa deuxième preuve car la première (incomplète) était proposée dans sa thèse de Doctorat en 1799. Ce théorème est tellement important qu'il se nomme aujourd'hui : theˊoreˋme  fondamental  de  l′algeˋbre{\color{blue}{\it{théorème \,\, fondamental \,\, de \,\, l'algèbre}}}.
Le théorème s'énonce ainsi :
♣  Le  theˊoreˋme  fondamental  de  l′algeˋbre:{\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, Le \,\, théorème \,\, fondamental \,\, de \,\, l'algèbre :}}}
Tout  polyno^me  non  constant,  aˋ  coefficients  complexes,  admet  au  moins  une  racine  complexe{\color{red}{\boxed{\bf{Tout \,\, polynôme \,\, non \,\, constant, \,\, à \,\, coefficients \,\, complexes, \,\, admet \,\, au \,\, moins \,\, une \,\, racine \,\, complexe}}}}.
Ce qui conduit facilement à l'énoncé suivant :
Tout  polyno^me  de  degreˊ  n⩾1  admet  n  racines  reˊelles  ou  complexes  distinctes  ou  confondues{\color{red}{\boxed{Tout \,\, polynôme \,\, de \,\, degré \,\, n \geqslant 1 \,\, admet \,\, n \,\, racines \,\, réelles \,\, ou \,\, complexes \,\, distinctes \,\, ou \,\, confondues}}}.