Résolutions des équations algébriques

On considère les quatre nombres complexes $$a$$, $$b$$, $$c$$ et $$d$$.
$${\color{green}{\bf{\blacktriangledown \,\, Equation \,\, du \,\, premier \,\, degré}}}$$
L'équation $$az+b=0$$, avec $$a \neq 0$$, admet une racine $$z = - \dfrac{b}{a}$$.
$${\color{green}{\bf{\blacktriangledown \blacktriangledown \,\, Equation \,\, du \,\, deuxième \,\, degré}}}$$
On considère l'équation $$az^2+bz+c=0$$, avec $$a\neq0$$. On pose $$\Delta = b^2-4ac \in \mathbb{C}$$, ainsi que $$\Delta = \delta^2$$, avec $$\delta \in \mathbb{C}$$.
$${\color{black}{\bf{\,\,\,\,\,\, \blacklozenge \,\, Si \,\, \delta \,\, est \,\, nul}}}$$
Alors dans ce cas il n'y a qu'une seule racine, dite double, et qui est : $$z = \dfrac{-b}{2a}$$.
$${\color{black}{\bf{\,\,\,\,\,\, \blacklozenge \blacklozenge \,\, Si \,\, \delta \,\, est \,\, non \,\, nul}}}$$
Alors dans ce cas il y a deux racines distinctes, et qui sont : $$z = \dfrac{-b+\delta}{2a}$$ et $$z = \dfrac{-b-\delta}{2a}$$.
$${\color{green}{\bf{\blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, Equation \,\, du \,\, troisième \,\, degré}}}$$
On considère l'équation $$az^3+bz^2+cz+d=0$$, avec $$a\neq0$$.
On commence par diviser cette équation par $$a \neq 0$$, et on obtient :
$$z^3+\dfrac{b}{a}z^2+\dfrac{c}{a}z+\dfrac{d}{a}=0$$
Puis, on pose $$z = x - \dfrac{b}{3a}$$ afin d'éliminer le terme de degré $$2$$. On a alors :
$$\left( x - \dfrac{b}{3a} \right)^3+\dfrac{b}{a}\left( x - \dfrac{b}{3a} \right)^2+\dfrac{c}{a}\left( x - \dfrac{b}{3a} \right)+\dfrac{d}{a}=0$$
On aboutit alors à :
$$x^3 + px + q = 0 \,\,\,\,\,\, \mathrm{avec} \, : \,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} p & = & \dfrac{3ac - b^2}{3a^2} \\ & & \\ q & = & \dfrac{2b^3}{27a^3} - \dfrac{bc}{a^2} + \dfrac{d}{a} &\end{array} \right.$$
La méthode de $$Cardan$$ (mais elle fut découverte par $$Niccolò \, Fontana$$ dit $$Tartaglia$$ en $$1535$$) conciste à poser $$x = u+v$$. On obtient alors :
$$u^3 + v^3 + (u+v)(3uv + p) + q = 0$$
Et cette égalité est vérifiée si :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} u^3+v^3 & = & - q \\ & & \\ uv & = & -\dfrac{p}{3} \\ \end{array} \right.$$
La dernière relation est équivalente à $$u^3v^3 = -\dfrac{p^3}{27}$$.
On connais donc la somme $$S = u^3+v^3$$ ainsi que le produit $$P = u^3 \times v^3$$. Donc, $$u^3$$ et $$v^3$$ sont donc solution de de l'équation du second degré, de l'inconnue $$t$$, suivante :
$$t^2 + St + P = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, t^2 + (u^3+v^3)t + u^3 v^3 = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, t^2 - qt - \dfrac{p^3}{27} = 0$$
Le discriminant associé est alors $$q^2+\dfrac{4p^3}{27}$$ et suivant son signe, on aura des racines réelles ou non.
Dans le cas particulier ou $$p$$ et $$q$$ sont deux nombres réels, on a toujours l'existence d'au moins une racine réelle. On a alors :
$$\looparrowright$$ 1er cas : si $$q^2+\dfrac{4p^3}{27} > 0$$
Dans ce cas l'équation $$t^2 - qt - \dfrac{p^3}{27} = 0$$ à deux racines réelles distinctes, notées $$t_1$$ et $$t_2$$, qui sont les expressions de $$u^3$$ et $$v^3$$, et de fait on en déduit les expressions respectives de $$u$$ et $$v$$ :
$$\left\lbrace \begin{array}{rccclcl} t_1 & = & u^3 & = & \dfrac{q + \sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2} & = & -\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \\ & & & & & & \\ t_2 & = & v^3 & = & \dfrac{q - \sqrt{q^2+\dfrac{4p^3}{27}}}{2} & = & -\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \\ \end{array} \right. \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} u & = & \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} \\ & & \\ v & = & \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} \\ \end{array} \right.$$
L'équation $$x^3 + px + q = 0$$ à trois racines. Dans notre cas, l'une est réelle $$x_1 = u+v$$, et les deux autres $$x_2$$ et $$x_3$$ sont complexes conjuguées l'une de l'autre $$\overline{x_2} = x_3$$. Ce qui implique que :
$$x_1 = u + v = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} \in \mathbb{R}$$
Ceci nous permet d'écrire que la solution réelle de l'équation initiale $$az^3+bz^2+cz+d=0$$ est $$z_1$$ et est donnée par :
$$z_1 = x_1 - \dfrac{b}{3a} = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} - \dfrac{b}{3a}$$
C'est le cas pour le polynôme $$h$$ d'expression $$X^3-1$$ dont le graphe est :
Dans ce cas précis, les racines de $$h$$ sont : $$1$$, $$\dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2}$$ et $$\dfrac{-1 - i \sqrt{3}}{2}$$.
$$\looparrowright \looparrowright$$ 2ième cas : si $$q^2+\dfrac{4p^3}{27} < 0$$
Dans ce cas l'équation $$t^2 - qt - \dfrac{p^3}{27} = 0$$ à deux racines complexes distinctes conjuguées l'une de l'autre, notées $$t_1$$ et $$t_2$$. Donc $$u^3$$ et $$v^3$$ sont deux nombres complexes conjugués l'un de l'autre. Il s'ensuit que $$u$$ et $$v$$ sont également deux nombres complexes conjugués l'un de l'autre. Comme la somme de deux sont deux nombres complexes conjugués l'un de l'autre vaut deux fois leur partie réelle, on a donc $$u+v$$ qui est une quantité purement réelle. Donc, aux trois déterminations possibles de $$u$$ (car il y a trois racines cubiques possibles pour le complexe $$u^3$$), on obtient trois valeurs réelles différentes pour $$x = u+v$$, et de fait, également trois valeurs réelles différentes pour $$z = x - \dfrac{b}{3a}$$. Cette situation correspond à l'existence de trois racines réelles différentes.
C'est le cas pour le polynôme $$f$$ d'expression $$X^3-4X^2-X+4$$ dont le graphe est :

Dans ce cas précis, les racines de $$f$$ sont : $$-1$$, $$1$$ et $$4$$.
$$\looparrowright \looparrowright \looparrowright$$ 3ième cas : si $$q^2+\dfrac{4p^3}{27} = 0$$
Dans ce cas l'équation $$t^2 - qt - \dfrac{p^3}{27} = 0$$ à une racine double, et $$u^3 = v^3 = -\dfrac{q}{2}$$. Si $$u$$ est réelle et vaut $$u = \alpha \in \mathbb{R}$$ alors $$v = u = \alpha$$ et l'une des racines recherchées est $$x = u + v = 2\alpha$$. On trouve que l'autre racine est $$-\alpha$$ (qui est une racine double).
C'est le cas pour le polynôme $$g$$ d'expression $$-X^3+3X+2$$ dont le graphe est :

Dans ce cas précis, les racines de $$g$$ sont : $$-1$$, $$-1$$ ($$-1$$ est la racine double) et $$2$$.
$${\color{green}{\bf{\blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, Equation \,\, du \,\, quatrième \,\, degré}}}$$
La méthode de $$Ferrari$$ fût imaginée et mise au point en $$1540$$, par le mathématicien italien $$Ludovico \, Ferrari \,\, (1522 - 1565)$$. Elle permet de résoudre par radicaux les équations du quatrième degré.
On commence par diviser tous les coefficients de l'équation initiale par le coefficient dominant afin de normaliser l'équation initiale pour obtenir une équation du type :
$$z^4 + az^3 + bz^2 + cz + d = 0$$
Il est possible de factoriser cette équation. On pose $$\lambda \in \mathbb{K}$$, et on a la factorisation suivante :
$$\left( z^2 + \dfrac{a}{2}z + \lambda \right)^2 - \left[ \left( 2\lambda - b + \dfrac{a^2}{4} \right)z^2 + \left( a \lambda - c \right)z + \lambda^2 - d\right]$$
Puis, on détermine $$\lambda$$ pour que l'expression $$\left( 2\lambda - b + \dfrac{a^2}{4} \right)z^2 + \left( a \lambda - c \right)z + \lambda^2 - d$$ soit un $${\color{red}{\bf{carré \,\, parfait}}}$$. Il s'agit d'un polynôme du second degré en $$z$$, dont le discriminant doit être nul. Ceci nous conduit à la condition :
$$\left( a \lambda - c \right)^2 - 4\left( 2\lambda - b + \dfrac{a^2}{4} \right) \left(\lambda^2 - d\right) = 0$$
Il s'agit d'une équation du troisième degré. Pour chacune des valeurs de $$\lambda$$ alors trouvées, le terme $$\left( z^2 + \dfrac{a}{2}z + \lambda \right)^2$$ est un produit de facteurs du second degré, et la résolution devient possible, même si cela est (souvent) laborieux.
$${\color{green}{\bf{\blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \blacktriangledown \,\, Equation \,\, de \,\, degré \,\, supérieur \,\, ou \,\, égal \,\, à \,\, cinq}}}$$
Depuis les travaux du mathématicien français $$Evariste \, Galois \,\ (1811-1832)$$, on sait qu'il est $${\color{red}{\bf{impossible}}}$$ de trouver des formules générales de résolution pour des équations de degré supérieur ou égal à cinq.