Décomposition en éléments simple dans $$\mathbb{R}$$ - Exercice 1

$$F$$ est sous forme irréductible car $$-1$$ et $$2$$ les pôles de $$F$$ ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ est nulle.
La décomposition en éléments simples de $$F$$ étant unique, on a :
$$F\left(X\right)=\frac{a}{X+1}+\frac{b}{X-2}$$ où $$\left(a;b\right) \in \mathbb{R}^2$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{5X-1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)}=\frac{a}{X+1}+\frac{b}{X-2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+1\right)$$, on a alors :
$$\left( X+1\right)\times\dfrac{5X-1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)}=\frac{a\times\left( X+1\right)}{X+1}+\frac{b\times\left( X+1\right)}{X-2}$$
$$\dfrac{5X-1}{X-2}=a+\frac{b\times\left( X+1\right)}{X-2}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-1$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{5\times \left(-1\right)-1}{-1-2}=a+\frac{b\times\left( -1+1\right)}{-1-2}$$
$$\dfrac{-6}{-3}=a+\frac{b\times 0}{-1-2}$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{b}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{5X-1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)}=\frac{a}{X+1}+\frac{b}{X-2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X-2\right)$$, on a alors :
$$\left( X-2\right)\times\dfrac{5X-1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)}=\frac{a\times\left( X-2\right)}{X+1}+\frac{b\times\left( X-2\right)}{X-2}$$
$$\dfrac{5X-1}{X+1}=\frac{a\times\left( X-2\right)}{X+1}+b$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$2$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{5\times 2-1}{2+1}=\frac{a\times\left( 2-2\right)}{2+1}+b$$
$$\dfrac{9}{3}=b$$
Ainsi :
On obtient donc enfin la décomposition suivante :

$$F$$ est sous forme irréductible car $$-3$$ et $$1$$ les pôles de $$F$$ ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ est nulle.
La décomposition en éléments simples de $$F$$ étant unique, on a :
$$F\left(X\right)=\frac{a}{X+3}+\frac{b}{X-1}$$ où $$\left(a;b\right) \in \mathbb{R}^2$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X+2}{\left(X+3\right)\left(X-1\right)}=\frac{a}{X+3}+\frac{b}{X-1}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+3\right)$$, on a alors :
$$\left( X+3\right)\times\dfrac{X+2}{\left(X+3\right)\left(X-1\right)}=\frac{a\times\left( X+3\right)}{X+3}+\frac{b\times\left( X+3\right)}{X-1}$$
$$\dfrac{X+2}{X-1}=a+\frac{b\times\left( X+3\right)}{X-1}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-3$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{-3+2}{-3-1}=a+\frac{b\times\left( -3+3\right)}{-3-1}$$
$$\dfrac{-1}{-4}=a+\frac{b\times 0}{-3-1}$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{b}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X+2}{\left(X+3\right)\left(X-1\right)}=\frac{a}{X+3}+\frac{b}{X-1}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X-1\right)$$, on a alors :
$$\left( X-1\right)\times\dfrac{X+2}{\left(X+3\right)\left(X-1\right)}=\frac{a\times\left( X-1\right)}{X+3}+\frac{b\times\left( X-1\right)}{X-1}$$
$$\dfrac{X+2}{X+3}=\frac{a\times\left( X-1\right)}{X+3}+b$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$1$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{1+2}{1+3}=\frac{a\times\left( 1-1\right)}{1+3}+b$$
Ainsi :
On obtient donc enfin la décomposition suivante :

$$F$$ est sous forme irréductible car $$0$$ ; $$2$$ et $$-2$$ les pôles de $$F$$ ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ est nulle.
La décomposition en éléments simples de $$F$$ étant unique, on a :
$$F\left(X\right)=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{X+2}$$ où $$\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X^2+1}{X\left(X-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{X+2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X\right)$$, on a alors :
$$X\times\dfrac{X^2+1}{X\left(X-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{aX}{X}+\frac{bX}{X-2}+\frac{cX}{X+2}$$
$$\dfrac{X^2+1}{\left(X-2\right)\left(X+2\right)}=a+\frac{bX}{X-2}+\frac{cX}{X+2}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$0$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{0^2+1}{\left(0-2\right)\left(0+2\right)}=a+\frac{b\times0}{0-2}+\frac{c\times0}{0+2}$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{b}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X^2+1}{X\left(X-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{X+2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X-2\right)$$, on a alors :
$$\left( X-2\right)\times\dfrac{X^2+1}{X\left(X-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{a\left( X-2\right)}{X}+\frac{b\left( X-2\right)}{X-2}+\frac{c\left( X-2\right)}{X+2}$$
$$\dfrac{X^2+1}{X\left(X+2\right)}=\frac{a\left( X-2\right)}{X}+b+\frac{c\left( X-2\right)}{X+2}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$2$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{2^2+1}{2\left(2+2\right)}=\frac{a\left( 2-2\right)}{2}+b+\frac{c\left( 2-2\right)}{2+2}$$
$$\dfrac{2^2+1}{2\left(2+2\right)}=b$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{c}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X^2+1}{X\left(X-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{a}{X}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{X+2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+2\right)$$, on a alors :
$$\left( X+2\right)\times\dfrac{X^2+1}{X\left(X-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{a\left( X+2\right)}{X}+\frac{b\left( X+2\right)}{X-2}+\frac{c\left( X+2\right)}{X+2}$$
$$\dfrac{X^2+1}{X\left(X-2\right)}=\frac{a\left( X+2\right)}{X}+\frac{b\left( X+2\right)}{X-2}+c$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-2$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{\left(-2\right)^2+1}{\left(-2\right)\left(-2-2\right)}=\frac{a\left( -2+2\right)}{-2}+\frac{b\left( -2+2\right)}{-2-2}+c$$
$$\dfrac{\left(-2\right)^2+1}{\left(-2\right)\left(-2-2\right)}=c$$
Ainsi :
On obtient donc enfin la décomposition suivante :

$$F$$ est sous forme irréductible car $$-1$$ ; $$2$$ et $$-3$$ les pôles de $$F$$ ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ est nulle.
La décomposition en éléments simples de $$F$$ étant unique, on a :
$$F\left(X\right)=\frac{a}{X+1}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{X+3}$$ où $$\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X^2+1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)\left(X+3\right)}=\frac{a}{X+1}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{X+3}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+1\right)$$, on a alors :
$$\left( X+1\right)\times\dfrac{X^2+1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)\left(X+3\right)}=\frac{a\left( X+1\right)}{X+1}+\frac{b\left( X+1\right)}{X-2}+\frac{c\left( X+1\right)}{X+3}$$
$$\dfrac{X^2+1}{\left(X-2\right)\left(X+3\right)}=a+\frac{b\left( X+1\right)}{X-2}+\frac{c\left( X+1\right)}{X+3}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-1$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{\left(-1\right)^2+1}{\left(-1-2\right)\left(-1+3\right)}=a+\frac{b\times0}{-1-2}+\frac{c\times0}{-1+3}$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{b}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X^2+1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)\left(X+3\right)}=\frac{a}{X+1}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{X+3}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X-2\right)$$, on a alors :
$$\left(X-2\right)\times \dfrac{X^2+1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)\left(X+3\right)}=\frac{a\left(X-2\right)}{X+1}+\frac{b\left(X-2\right)}{X-2}+\frac{c\left(X-2\right)}{X+3}$$
$$\dfrac{X^2+1}{\left(X+1\right)\left(X+3\right)}=\frac{a\left( X-2\right)}{X+1}+b+\frac{c\left( X-2\right)}{X+3}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$2$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{2^2+1}{\left(2+1\right)\left(2+3\right)}=\frac{a\left( 2-2\right)}{2+1}+b+\frac{c\left( 2-2\right)}{2+3}$$
$$\dfrac{2^2+1}{\left(2+1\right)\left(2+3\right)}=b$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{c}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X^2+1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)\left(X+3\right)}=\frac{a}{X+1}+\frac{b}{X-2}+\frac{c}{X+3}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+3\right)$$, on a alors :
$$\left( X+3\right)\times\dfrac{X^2+1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)\left(X+3\right)}=\frac{a\left( X+3\right)}{X+1}+\frac{b\left( X+3\right)}{X-2}+\frac{c\left( X+3\right)}{X+3}$$
$$\dfrac{X^2+1}{\left(X+1\right)\left(X-2\right)}=\frac{a\left( X+3\right)}{X+1}+\frac{b\left( X+3\right)}{X-2}+c$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-3$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{\left(-3\right)^2+1}{\left(-3+1\right)\left(-3-2\right)}=\frac{a\left( -3+3\right)}{-3+1}+\frac{b\left( -3+3\right)}{-3-2}+c$$
$$\dfrac{\left(-3\right)^2+1}{\left(-3+1\right)\left(-3-2\right)}=c$$
Ainsi :
On obtient donc enfin la décomposition suivante :

Le degré du dénominateur étant supérieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ n'est pas nulle.
Il faut donc commencer par faire la division euclidienne de $$X^3+2$$ par $$\left(X-3\right)\left(X+2\right)$$ .
On obtient : $${\color{blue}{X^3+2}}= {\color{red}{\left(X+1\right)\left(X-3\right)\left(X+2\right)+7X+8}}$$
On a alors :
$$F\left(X\right) = \dfrac{{\color{blue}{X^3+2}}}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}$$
$$F\left(X\right) = \dfrac{{\color{red}{\left(X+1\right)\left(X-3\right)\left(X+2\right)+7X+8}}}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}$$
$$F\left(X\right) = \dfrac{\left(X+1\right)\left(X-3\right)\left(X+2\right)}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}+\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}$$
$$F\left(X\right) = X+1+\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}$$ . La partie entière est alors égale à $$X+1$$ .
$$\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}$$ est sous forme irréductible car $$3$$ et $$-2$$ les pôles de $$\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}$$ ne sont pas racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$\dfrac{7X+8}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}$$ est nulle.
La décomposition en éléments simples de $$F$$ dans $$\mathbb{R}$$ étant unique, on a :

Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X^3+2}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}=X+1+\dfrac{a}{X-3}+\dfrac{b}{X+2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X-3\right)$$, on a alors :
$$\left( X-3\right)\times \dfrac{X^3+2}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}=\left(X+1\right)\times\left( X-3\right)+\dfrac{a\left( X-3\right)}{X-3}+\dfrac{b\left( X-3\right)}{X+2}$$
$$\dfrac{X^3+2}{X+2}=\left(X+1\right)\times\left( X-3\right)+a+\dfrac{b\left( X-3\right)}{X+2}$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$3$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{3^3+2}{3+2}=\left(3+1\right)\times\left( 3-3\right)+a+\dfrac{b\left( 3-3\right)}{3+2}$$
$$\dfrac{3^3+2}{3+2}=a$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{b}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X^3+2}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}=X+1+\dfrac{a}{X-3}+\dfrac{b}{X+2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+2\right)$$, on a alors :
$$\left( X+2\right)\times \dfrac{X^3+2}{\left(X-3\right)\left(X+2\right)}=\left(X+1\right)\times\left( X+2\right)+\dfrac{a\left( X+2\right)}{X-3}+\dfrac{b\left( X+2\right)}{X+2}$$
$$\dfrac{X^3+2}{X-3}=\left(X+1\right)\times\left( X+2\right)+\dfrac{a\left( X+2\right)}{X-3}+b$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-2$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{\left(-2\right)^3+2}{-2-3}=\left(-2+1\right)\times\left( -2+2\right)+\dfrac{a\left( -2+2\right)}{-2-3}+b$$
$$\dfrac{\left(-2\right)^3+2}{-2-3}=b$$
Ainsi :
On obtient donc enfin la décomposition suivante :

$$F$$ est sous forme irréductible car $$-2$$ ; $$-\sqrt{2}$$ et $$\sqrt{2}$$ les pôles de $$F$$ ne sont pas les racines du numérateur.
Le degré du dénominateur étant inférieur à celui du numérateur, la partie entière de $$F$$ est nulle.
La décomposition en éléments simples de $$F$$ étant unique, on a :
$$F\left(X\right)=\frac{aX+b}{X^2-2}+\frac{c}{X+2}$$ où $$\left(a;b;c\right) \in \mathbb{R}^3$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X+1}{\left(X^2-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{aX+b}{X^2-2}+\frac{c}{X+2}$$
Nous multiplions les deux membres de l'égalité précédente par $$\left(X+2\right)$$, on a alors :
$$\left(X+2\right)\times\dfrac{X+1}{\left(X^2-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{\left(aX+b\right)\left(X+2\right)}{X^2-2}+\frac{c\left(X+2\right)}{X+2}$$
$$\dfrac{X+1}{X^2-2}=\frac{\left(aX+b\right)\left(X+2\right)}{X^2-2}+c$$
Puis maintenant on remplace $$X$$ par $$-2$$ ce qui nous donne :
$$\dfrac{-2+1}{\left(-2\right)^2-2}=\frac{\left(a\times \left(-2\right)+b\right)\left(-2+2\right)}{\left(-2\right)^2-2}+c$$
$$\dfrac{-2+1}{\left(-2\right)^2-2}=0+c$$
Ainsi :
Calcul de $${\color{red}{b}}$$ :
Nous avons donc $$\dfrac{X+1}{\left(X^2-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{aX+b}{X^2-2}-\frac{1}{2\left(X+2\right)}$$
$$0$$ n'étant pas pôle de $$F$$, nous allons calculer $$F\left(0\right)$$ afin de déterminer $$b$$ .
D'une part :
$$F\left(0\right)=\frac{a\times 0+b}{0^2-2}-\frac{1}{2\left(0+2\right)}$$
$$F\left(0\right)=-\frac{b}{2}-\frac{1}{4}$$
D'autre part :
$$F(0) = \dfrac{0+1}{\left(0^2-2\right)\left(0+2\right)}$$
$$F(0) = -\dfrac{1}{12}$$
Il en résulte donc que :
$$-\frac{b}{2}-\frac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}$$
$$b=-2\times \left(-\dfrac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)$$ ainsi
Nous avons donc $$\dfrac{X+1}{\left(X^2-2\right)\left(X+2\right)}=\frac{aX}{X^2-2}-\frac{1}{2\left(X+2\right)}$$
Calcul de $${\color{red}{a}}$$ :
Nous pouvons également par exemple calculer $$F\left(3\right)$$ afin de déterminer la valeur de $$a$$ comme nous l'avons fait pour déterminer $$b$$.
Nous allons procéder avec une autre méthode afin que vous puissiez avoir plusieurs méthode de résolution.
Nous allons calculer la limite de $$XF\left(X\right)$$ en $$+\infty$$ .
Il vient alors :
$$\lim\limits_{x\to +\infty } XF\left(X\right)=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{aX^2}{X^2-2}-\frac{X}{2\left(X-+2\right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{X^2+X}{\left(X^2-2\right)\left(X+2\right)}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{aX^2}{X^2-2}-\frac{X}{2\left(X-+2\right)}$$
$$\lim\limits_{x\to +\infty } \dfrac{X^2}{X^3}=\lim\limits_{x\to +\infty } \frac{aX^2}{X^2}-\lim\limits_{x\to +\infty }\frac{X}{2X}$$
Ainsi : $$0= a-\frac{1}{2}$$
Résolvons alors : $$0= a-\frac{1}{2}$$ ce qui donne .
Finalement :