Télescopages - Exercice 1

Soit $$n \in \mathbb{N}$$, nous savons que $$\sum_{k = 0}^n u_{k+3}$$ .
On pose $$j=k+3$$ .
Lorsque $$k=0$$ alors $$j=0+3$$ c'est à dire $$j=3$$ .
Lorsque $$k=n$$ alors $$j=n+3$$ .
Il en résulte donc que :
$$\sum_{k = 0}^n u_{k+3}=\sum_{j = 3}^{n+3} u_{j}$$
La variable $$j$$ étant muette, nous pouvons écrire que :

Soit $$n \in \mathbb{N}^{*}$$, nous savons que $$\sum_{k = 5}^{n+2} \frac{1}{k+4}$$ .
On pose $$j=k+4$$ .
Lorsque $$k=5$$ alors $$j=5+4$$ c'est à dire $$j=9$$ .
Lorsque $$k=n+2$$ alors $$j=n+2+4$$ c'est à dire $$j=n+6$$ .
Il en résulte donc que :
$$\sum_{k = 5}^{n+2} \frac{1}{k+4}=\sum_{j = 9}^{n+6} \frac{1}{j}$$
La variable $$j$$ étant muette, nous pouvons écrire que :

Soit $$n \in \mathbb{N}$$, nous savons que $$\sum_{p = 2}^{n+1} {\mathrm{ln} \left(5+p\right)\ }$$ .
On pose $$j=5+p$$ .
Lorsque $$p=2$$ alors $$j=5+2$$ c'est à dire $$j=7$$ .
Lorsque $$p=n+1$$ alors $$j=5+n+1$$ c'est à dire $$j=n+6$$ .
Il en résulte donc que :
$$\sum_{p = 2}^{n+1} {\mathrm{ln} \left(5+p\right)\ }=\sum_{j = 7}^{n+6} {\mathrm{ln} \left(j\right)\ }$$
La variable $$j$$ étant muette, nous pouvons écrire que :

Soit $$n \in \mathbb{N}$$.
$$\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} + a_k\right)=\sum_{k = 0}^n a_{k+1}+\sum_{k = 0}^n a_{k}$$ équivaut successivement à :
Nous allons exprimer $$\sum_{k = 0}^n a_{k+1}$$ à l'aide de $$\sum_{}a_k$$ .
On pose $$j=k+1$$ .
Lorsque $$k=0$$ alors $$j=0+1$$ c'est à dire $$j=1$$ .
Lorsque $$k=n$$ alors $$j=n+1$$ .
Il en résulte donc que :
$$\sum_{k = 0}^n a_{k+1}=\sum_{j = 1}^{n+1} a_{j}$$
La variable $$j$$ étant muette, nous pouvons écrire que :
On peut alors écrire que :

Soit $$n \in \mathbb{N}$$.
$$\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=\sum_{k = 0}^n a_{k+1}-\sum_{k = 0}^n a_{k}$$
Nous allons exprimer $$\sum_{k = 0}^n a_{k+1}$$ à l'aide de $$\sum_{}a_k$$ .
On pose $$j=k+1$$ .
Lorsque $$k=0$$ alors $$j=0+1$$ c'est à dire $$j=1$$ .
Lorsque $$k=n$$ alors $$j=n+1$$ .
Il en résulte donc que :
$$\sum_{k = 0}^n a_{k+1}=\sum_{j = 1}^{n+1} a_{j}$$
Les variables $$k$$ et $$j$$ sont muettes, nous pouvons écrire que :
On peut alors écrire que :

Maintenant, exprimons $$u_n$$ en fonction de $$n$$.
On a alors :
$$\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=\sum_{k = 1}^{n+1} a_{k}-\sum_{k = 0}^n a_{k}$$
$$\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=\left(\left(\sum_{k = 0}^{n} a_{k}\right)-a_0+a_{n+1}\right)-\sum_{k = 0}^n a_{k}$$
$$\sum_{k = 0}^n \left(a_{k+1} - a_k\right)=\left(\sum_{k = 0}^{n} a_{k}\right)-a_0+a_{n+1}-\sum_{k = 0}^n a_{k}$$
Finalement :

Soit $$n \in \mathbb{N}$$.
$$\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }\right)-\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)$$
Il faut exprimer $$\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }\right)$$ et $$\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)$$ à l'aide de $$\sum\left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)$$ .
Nous appliquons la même méthode que les questions précédentes, en posant $$j=k+2$$ pour exprimer $$\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }\right)$$ en fonction de $$\sum\left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)$$ . Puis poser $$j=k+1$$ pour exprimer $$\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }\right)$$ en fonction de $$\sum\left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)$$ .
Il vient alors que :
$$\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\sum_{k = 2}^{n+2} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)-\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)$$
$$\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\left(\left(\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)\right)-\ln\left(1\right)+\ln\left(n+2\right)\right)-\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)$$
$$\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)-\ln\left(1\right)+\ln\left(n+2\right)-\sum_{k = 1}^{n+1} \left({\mathrm{ln} \left(k\right) }\right)$$
$$\sum_{k = 0}^n \left({\mathrm{ln} \left(k+2\right) }-{\mathrm{ln} \left(k+1\right) }\right)=-\ln\left(1\right)+\ln\left(n+2\right)$$
Finalement :