Avec le binôme de Newton - Exercice 1

En appliquant la formule du binôme de Newton, nous avons : $${\left(x+y\right)}^5=\sum^5_{k=0}{\left( \begin{array}{c}5 \\ k \end{array}\right)x^ky^{5-k}}$$
Le facteur de $$x^3y^2$$ apparaitra lorsque $$k=3$$ .
Il vient alors que :
$${\left( \begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array}\right)x^3y^{5-3}}=\frac{5!}{3!\left(5-3\right)! }x^3y^{2}$$
$${\left( \begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array}\right)x^3y^{5-3}}=\frac{5!}{3!\times 2! }\times x^3y^{2}$$
$${\left( \begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array}\right)x^3y^{5-3}}=\frac{3!\times4\times5}{3!\times 1\times2 }\times x^3y^{2}$$
$${\left( \begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array}\right)x^3y^{5-3}}=\frac{\cancel{3!}\times4\times5}{\cancel{3!}\times 1\times2 }\times x^3y^{2}$$
$${\left( \begin{array}{c}5 \\ 3 \end{array}\right)x^3y^{5-3}}=10\times x^3y^{2}$$
Le coefficient de $$x^3y^2$$ dans le développement de $$\left(x+y\right)^5$$ est alors égale à $$10$$.

En appliquant la formule du binôme de Newton, nous avons : $${\left(2x+3y\right)}^8=\sum^8_{k=0}{\left( \begin{array}{c}8 \\ k \end{array}\right)\left(2x\right)^k\left(3y\right)^{8-k}}$$
Le facteur de $$x^5y^3$$ apparaitra lorsque $$k=5$$ .
Il vient alors que :
$${\left( \begin{array}{c}8 \\ 5 \end{array}\right)\left(2x\right)^5\left(3y\right)^{8-5}}=\frac{8!}{5!\left(8-5\right)! }\left(2x\right)^5\left(3y\right)^{3}$$
$${\left( \begin{array}{c}8 \\ 5 \end{array}\right)\left(2x\right)^5\left(3y\right)^{8-5}}=\frac{8!}{5!3!}\times 2^5\times x^5\times 3^3\times y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}8 \\ 5 \end{array}\right)\left(2x\right)^5\left(3y\right)^{8-5}}=\frac{8!}{5!3!}\times 32x^5\times 27y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}8 \\ 5 \end{array}\right)\left(2x\right)^5\left(3y\right)^{8-5}}=\frac{5!\times 6\times 7\times 8}{5!3!}\times 32x^5\times 27y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}8 \\ 5 \end{array}\right)\left(2x\right)^5\left(3y\right)^{8-5}}=\frac{6\times 7\times 8}{3!}\times 32x^5\times 27y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}8 \\ 5 \end{array}\right)\left(2x\right)^5\left(3y\right)^{8-5}}=\frac{6\times 7\times 8}{1\times 2\times 3}\times 32x^5\times 27y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}8 \\ 5 \end{array}\right)\left(2x\right)^5\left(3y\right)^{8-5}}=7\times 8\times 32x^5\times 27y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}8 \\ 5 \end{array}\right)\left(2x\right)^5\left(3y\right)^{8-5}}=48384x^5y^3$$
Le coefficient de $$x^5y^3$$ dans le développement de $$\left(2x+3y\right)^8$$ est alors égale à $$48$$ $$384$$.

En appliquant la formule du binôme de Newton, nous avons : $$\left(x-2y\right)^4=\sum^4_{k=0}{\left( \begin{array}{c}4 \\ k \end{array}\right)x^k\left(-2y\right)^{4-k}}$$
Le facteur de $$xy^3$$ apparaitra lorsque $$k=1$$ .
Il vient alors que :
$${\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \end{array}\right)x\left(-2y\right)^{4-1}}=\frac{4!}{1!\left(4-1\right)! }\times x\times \left(-2y\right)^{3}$$
$${\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \end{array}\right)x\left(-2y\right)^{4-1}}=\frac{4!}{1!3!}\times x\times {\left(-2\right)}^3\times y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \end{array}\right)x\left(-2y\right)^{4-1}}=\frac{4!}{1!3!}\times x\times \left(-8\right)\times y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \end{array}\right)x\left(-2y\right)^{4-1}}=\frac{3!\times 4}{3!}\times x\times \left(-8\right)\times y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \end{array}\right)x\left(-2y\right)^{4-1}}=4\times x\times \left(-8\right)\times y^3$$
$${\left( \begin{array}{c}4 \\ 1 \end{array}\right)x\left(-2y\right)^{4-1}}=-32xy^3$$
Le coefficient de $$xy^3$$ dans le développement de $$\left(x-2y\right)^4$$ est alors égale à $$-32$$ .