Exercice 8 - Exercice 1

Nous allons procéder par une démonstration par l'absurde.
Supposons donc que la suite $$(H_n)$$ soit convergente et que sa limite réelle soit $$\ell$$.
Dans ce cas, toutes les suites extraites de $$(H_n)$$ convergent également vers cette même limite $$\ell$$.
On considère alors la suite extraite $$(H_{2n})$$. On a alors :
$$H_{2n} - H_{n} = \sum_{k=1}^{2n} \dfrac{1}{k} - \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$$
Soit :
$$H_{2n} - H_{n} = \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k}$$
Soit encore :
$$H_{2n} - H_{n} = \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}$$
Cette suite $$(H_{2n} - H_{n})$$ comporte $$n$$ terme et converge vers $$\ell - \ell = 0$$.
Or, chacun des termes de la somme $$\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}$$ est plus grand ou égal au dernier, à savoir $$\dfrac{1}{2n}$$.
Autrement dit chacun des $$n$$ termes de la somme $$\sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{n+1} + \cdots + \dfrac{1}{2n}$$ est minoré par $$\dfrac{1}{2n}$$.
De fait, on va pouvoir écrire que :
$$H_{2n} - H_{n} \geqslant \dfrac{1}{2n} + \cdots + \dfrac{1}{2n}$$
Ce qui s'écrit encore :
$$H_{2n} - H_{n} \geqslant n\dfrac{1}{2n}$$
Ceci nous conduit donc à :
$$H_{2n} - H_{n} \geqslant \dfrac{1}{2}$$
Cette dernière égalité implique que la suite $$(H_{2n} - H_{n})$$ ne puisse pas converger vers $$0$$. Ceci produit une contradiction.
De fait l'hypothèse initiale est incorrecte.
En conclusion , nous pouvons affirmer que la suite $$(H_n)$$ est non-convergente, donc divergente.