Exercice 6 - Exercice 1

On sait que si une suite est bornée et monotone alors elle est convergente.
On constate que pour $$k$$ allant de $$0$$ à $$n$$ on a :
$$\sqrt{(n+k+1)(n+k+1)} \geqslant \sqrt{(n+k)(n+k+1)} \geqslant \sqrt{(n+k)(n+k)}$$
Soit :
$$n+k+1 \geqslant \sqrt{(n+k)(n+k+1)} \geqslant n+k$$
Donc :
$$\dfrac{1}{n+k+1} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}} \leqslant \dfrac{1}{n+k}$$
Lorsque $$k$$ varie de $$0$$ à $$n$$, il balaye donc $$n+1$$ valeurs possibles. Ainsi on en déduit que :
$$\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{n+k+1} \leqslant \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}} \leqslant \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{n+k}$$
De même, on a $$n+k \geqslant n$$ donc $$\dfrac{1}{n+k} \leqslant \dfrac{1}{n}$$ ce qui implique que $$\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{n+k} \leqslant \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{n}$$, soit $$\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{n+k} \leqslant \dfrac{n+1}{n}$$.
On peut alors écrire que :
$$\sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{n+k+1} \leqslant \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}} \leqslant \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{n+k} \leqslant \dfrac{n+1}{n}$$
Puis, on a $$2n+1\geqslant n+k+1$$ donc $$\dfrac{1}{2n+1} \leqslant \dfrac{1}{n+k+1}$$ ce qui implique que $$\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{2n+1} \leqslant \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{n+k+1}$$. Ceci nous donne donc $$\dfrac{n+1}{2n+1} \leqslant \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{n+k+1}$$.
On peut alors écrire que :
$$\dfrac{n+1}{2n+1} \leqslant \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{n+k+1} \leqslant \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}} \leqslant \sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{n+k} \leqslant \dfrac{n+1}{n}$$
Ainsi :
$$\dfrac{n+1}{2n+1} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{n+1}{n}$$
Or, on a $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n+1}{2n+1} = \lim_{n \longrightarrow + \infty}\dfrac{n}{2n} = \dfrac{1}{2}$$ et $$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{n+1}{n} = \lim_{n \longrightarrow + \infty}\dfrac{n}{n} = 1$$. Ainsi la suite $$(u_n)$$ est bornée.
Si maintenant on suppose que la suite $$(u_n)$$ est convergente et que sa limite réelle est $$\ell$$ alors nous sommes certain que cette limite vérifie l'encadrement suivant :
$$\dfrac{1}{2} \leqslant \ell \leqslant 1$$.
Pour montrer que la suite $$(u_n)$$ est convergente il suffit de montrer qu'elle est monotone. Pour se faire, étudions le signe du terme $$u_{n+1} - u_n$$, pour $$n$$ supérieur ou égal à $$1$$. On a :
$$u_{n+1} - u_n = \sum_{k=0}^{n+1} \dfrac{1}{\sqrt{(n+1+k)(n+1+k+1)}} - \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}$$
Soit :
$$u_{n+1} - u_n = \sum_{k=0}^{n+1} \dfrac{1}{\sqrt{(n+(k+1))(n+(k+1)+1)}} - \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}$$
Dans la première somme, celle de $$u_{n+1}$$, effectuons le changement $$K = k+1$$ ; et de fait $$K$$ varie de $$0+1=1$$ à $$n+1+1=n+2$$. Donc on a :
$$u_{n+1} - u_n = \sum_{K=1}^{n+2} \dfrac{1}{\sqrt{(n+K)(n+K+1)}} - \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}$$
Comme l'indice de sommation $$K$$ est un indice muet, on va maintenant le modifier par $$k$$ afin de faire apparaître plus clairement les simplification (par télescopage). On a alors :
$$u_{n+1} - u_n = \sum_{k=1}^{n+2} \dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}} - \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{\sqrt{(n+k)(n+k+1)}}$$
Après toutes les simplifications, par télescopage, il va finalement rester dans la première uniquement les deux derniers termes ; puis dans la première somme il va seulement rester le premier terme. On a alors :
$$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{\sqrt{(n+n+2)(n+n+2+1)}} + \dfrac{1}{\sqrt{(n+n+1)(n+n+1+1)}} - \dfrac{1}{\sqrt{(n+0)(n+0+1)}}$$
Soit :
$$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{\sqrt{(2n+2)(2n+3)}} + \dfrac{1}{\sqrt{(2n+1)(2n+2)}} - \dfrac{1}{\sqrt{n(n+1)}}$$
Soit encore :
$$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{\sqrt{(2n+2)(2n+3)}} + \dfrac{1}{\sqrt{(2n+1)(2n+2)}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n2(n+1)}}$$
D'où :
$$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{\sqrt{(2n+2)(2n+3)}} + \dfrac{1}{\sqrt{(2n+1)(2n+2)}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n(2n+2)}}$$
En factorisant par le terme $$\dfrac{1}{\sqrt{2n+2}}$$ on obtient :
$$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2n+3}} + \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right)$$
Or, comme $$n$$ un nombre entier naturel non nul, on a :
$$\dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2n+3}} + \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right) \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2n}} + \dfrac{1}{\sqrt{2n}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2n+3}} + \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right) \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{2}{\sqrt{2n}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right)$$
Soit :
$$\dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2n+3}} + \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right) \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{n}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right)$$
Soit encore :
$$\dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2n+3}} + \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right) \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right)$$
De fait, on obtient :
$$\dfrac{1}{\sqrt{2n+2}} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2n+3}} + \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}} - \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{n}} \right) \leqslant 0$$
Dès lors, nous pouvons écrire que :
$$u_{n+1} - u_n \leqslant 0$$
Ce qui nous donne :
$$u_{n+1} \leqslant u_n$$
Donc la suite $$(u_n)$$ est décroissante. Ceci assure sa monotonie. Comme nous avons montré précédemment que cette suite $$(u_n)$$ est bornée alors de fait elle est convergente.
Dans notre cas, la suite $$(u_n)$$ est décroissante et minorée donc elle est bien convergente. Sa limite réelle $$\ell$$ satisfait à l'encadrement suivant : $$\dfrac{1}{2} \leqslant \ell \leqslant 1$$.