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Exercice 5 - Exercice 1

10 min
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Question 1

Donner un exemple de suites convergentes (un)(u_n) et (vn)(v_n) telles, qu'il existe n0∈Nn_0 \in \mathbb{N}, qu'elles vérifient ∀n⩾n0\forall n \geqslant n_0, un<vnu_n < v_n et qui ont pourtant la même limite.

Correction
Choisissons nn comme étant un nombre entier non nul.
On pose vn=1nv_n = \dfrac{1}{n} et un=1n2u_n = \dfrac{1}{n^2}
On pose n0=2n_0 = 2.
Ainsi ∀n⩾n0\forall n \geqslant n_0 on a n2>nn^2 > n, donc 1n2<1n\dfrac{1}{n^2} < \dfrac{1}{n}.
Autrement dit, on a :
∀n⩾n0,  un<vn\forall n \geqslant n_0, \,\, u_n < v_n
Pourtant on a bien :
lim⁡n⟶+∞vn=lim⁡n⟶+∞1n=0+\lim_{n \longrightarrow + \infty} v_n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} = 0^+ et lim⁡n⟶+∞un=lim⁡n⟶+∞1n2=0+\lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n^2} = 0^+.
Donc lim⁡n⟶+∞vn=lim⁡n⟶+∞un\lim_{n \longrightarrow + \infty} v_n = \lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n.