Exercice 4 - Exercice 1

On a :
$$\ln \left( u_n \right) = \ln \left( \sqrt[n]{a^n + b^n} \right) = \ln \left( \left({a^n + b^n}\right)^{\frac{1}{n}} \right) = \dfrac{1}{n} \ln \left( a^n + b^n \right)$$
Les rôles de $$a$$ et $$b$$ étant similaires, on va devoir faire une supposition. Ainsi, on va supposer que $$a \geqslant b$$. Dans ce cas on a va donc pouvoir écrire que :
$$\ln \left( u_n \right) = \dfrac{1}{n} \ln \left( a^n \left( 1+ \dfrac{b^n}{a^n} \right) \right) = \dfrac{1}{n} \ln \left( a^n \left( 1+ \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \right) \right)$$
Donc :
$$\ln \left( u_n \right) = \dfrac{1}{n} \left( \ln \left( a^n\right) + \ln \left( 1+ \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \right) \right) = \dfrac{1}{n} \left( n\ln \left( a\right) + \ln \left( 1+ \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \right) \right)$$
Soit :
$$\ln \left( u_n \right) = \dfrac{1}{n} n\ln \left( a\right) + \dfrac{1}{n} \ln \left( 1+ \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \right)$$
Soit encore :
$$\ln \left( u_n \right) = \ln \left( a\right) + \dfrac{1}{n} \ln \left( 1+ \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \right)$$
Effectuons maintenant un passage à la limite lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$. On a alors :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \ln \left( u_n \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \left( \ln \left( a\right) + \dfrac{1}{n} \ln \left( 1+ \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \right) \right) = \lim_{n \longrightarrow + \infty} \ln \left( a\right) + \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \ln \left( 1+ \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \right)$$
Ce qui nous donne :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \ln \left( u_n \right) = \ln \left( a \right) + \lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \ln \left( 1+ \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \right)$$
Comme $$a \geqslant b$$ cela implique que $$\dfrac{b}{a} \leqslant 1$$. De fait, on a :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{1}{n} \ln \left( 1+ \left( \dfrac{b}{a} \right)^n \right) = 0$$
Ainsi, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} \ln \left( u_n \right) = \ln \left( a \right)$$
En introduisant la fonction exponentielle, qui est continue sur $$\mathbb{R}$$, on obtient donc :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n = a$$
Donc, si maintenant on a $$b \geqslant a$$, on obtient :
$$\lim_{n \longrightarrow + \infty} u_n = b$$