Sujet $$1$$ - Exercice 1

$$A=2e^{i\frac{\pi }{5}}+2e^{i\frac{\pi }{3}}$$ équivaut successivement à :
$$A=2\left(e^{i\frac{\pi }{5}}+e^{i\frac{\pi }{3}}\right)$$
$$A=2\left(e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{5}+\frac{\pi }{3}}{2}\right)}\left(e^{i\left(\frac{\frac{\pi }{5}-\frac{\pi }{3}}{2}\right)}+e^{-i\left(\frac{\frac{\pi }{5}-\frac{\pi }{3}}{2}\right)}\right)\right)$$
$$A=2\left(e^{i\left(\frac{\frac{3\pi }{15}+\frac{5\pi }{15}}{2}\right)}\left(e^{i\left(\frac{\frac{3\pi }{15}-\frac{5\pi }{15}}{2}\right)}+e^{-i\left(\frac{\frac{3\pi }{15}-\frac{5\pi }{15}}{2}\right)}\right)\right)$$
$$A=2\left(e^{i\left(\frac{\frac{8\pi }{15}}{2}\right)}\left(e^{i\left(\frac{-\frac{2\pi }{15}}{2}\right)}+e^{-i\left(\frac{-\frac{2\pi }{15}}{2}\right)}\right)\right)$$
$$A=2\left(e^{i\left(\frac{4\pi }{15}\right)}\left(e^{i\left(-\ \frac{\pi }{15}\right)}+e^{-i\left(-\ \frac{\pi }{15}\right)}\right)\right)$$
$$A=2\left(e^{i\left(\frac{4\pi }{15}\right)}\left(e^{-i\left(\frac{\pi }{15}\right)}+e^{i\left(\frac{\pi }{15}\right)}\right)\right)$$
$$A=2\left(e^{i\left(\frac{4\pi }{15}\right)}\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{15}\right)\ }\right)\right)$$
Ainsi :
Comme $$\frac{\pi }{15} \in \left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ alors $${\mathrm{cos} \left(\frac{\pi }{15}\right)\ }>0$$ .
Il en résulte donc que est bien une forme exponentielle de $$A=2e^{i\frac{\pi }{5}}+2e^{i\frac{\pi }{3}}$$ .

Posons $$Z = z^2$$, ce qui implique que $$Z^2 = z^4$$. Ainsi l'équation devient :
$$Z^2+(5+14i)Z-24+10i = 0$$
Le discriminant associé est :
$$\Delta = (5+14i)^2 - 4 \times 1 \times (-24+10i) = -75+100i \neq0$$
Soit $$\delta$$ les racines carrées complexes de $$\Delta$$. On pose alors $$\delta = x+iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels. On a alors :
$$\Delta = \delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -75+100i =(x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -75+100i =x^2 - y^2 + i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -75 & = & x^2 - y^2 \\ 100 & = & 2xy \\ \end{array}\right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} -75 & = & x^2 - y^2 \\ 50 & = & xy \\ \end{array}\right.$$
De plus, on a $$|\Delta| = |\delta^2| = |\delta|^2$$. Ainsi :
$$\sqrt{(-75)^2+100^2} = x^2+y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 125= x^2+y^2$$
Donc on a les trois équations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 125 & = & x^2+y^2 \\ -75 & = & x^2 - y^2 \\ 50 & = & xy \\ \end{array}\right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières équations nous donne :
$$125-75=2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 25 = x^2 \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 5$$
La différence, membres à membres, des deux premières équations nous donne :
$$125-(-75)=2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 100 = y^2 \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 10$$
Enfin, la troisième équation, à savoir $$xy = 50$$, implique que les deux nombres réels $$x$$ et $$y$$ sont de mêmes signes. Ainsi :
$${\color{blue}{\boxed{\delta = 5+10i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -5-10i}}}$$
Comme ces deux valeurs complexes de $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre, le choix n'a donc pas d'importance. Choisissons donc arbitrairement la valeur $$\delta =5+10i$$. Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient $$Z_1$$ et $$Z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée en $$Z$$. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} Z_1 & = & \dfrac{-(5+14i) + \delta }{2} \\ & & \\ Z_2 & = & \dfrac{-(5+14i) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} Z_1 & = & \dfrac{-5-14i+5+10i}{2} \\ & & \\ Z_2 & = & \dfrac{-5-14i-5-10i}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} Z_1 & = & -2i \\ & & \\ Z_2 & = & -5-12i \\ \end{array} \right.$$
On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} Z_1 & = & -2i \\ & & \\ Z_2 & = & -5-12i \\ \end{array} \right.$$
Soient $$x_1$$, $$x_2$$, $$y_1$$ et $$y_2$$ quatre nombres réels. Soient $$z_1 = x_1 + iy_1$$ et $$z_2 = x_2 + iy_2$$ les racines carrées complexes respectivement des deux nombres $$Z_1$$ et $$Z_2$$ trouvés ci-avant. On a alors les deux systèmes suivants :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2 & = & x_1^2+y_1^2 \\ 0 & = & x_1^2 - y_1^2 \\ -1 & = & x_1 \, y_1 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \text{et} \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 13 & = & x_2^2+y_2^2 \\ -5 & = & x_2^2 - y_2^2 \\ -6 & = & x_2 \, y_2 \\ \end{array}\right.$$
Pour chacun des deux systèmes, les sommes des deux premières équations nous donnent :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2+0 & = & 2x_1^2 \\ 13-5 & = & 2x_2^2 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \Longleftrightarrow \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 2 & = & 2x_1^2 \\ 8 & = & 2x_2^2 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \Longleftrightarrow \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 1 & = & x_1^2 \\ 4 & = & x_2^2 \\ \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x_1 & = & \pm 1 \\ x_2 & = & \pm 2 \\ \end{array}\right.$$
Pour chacun des deux mêmes systèmes précédents, les soustractions des deux premières équations nous donnent :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 2-0 & = & 2y_1^2 \\ 13-\left(-5\right) & = & 2y_2^2 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \Longleftrightarrow \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 2 & = & 2y_1^2 \\ 18 & = & 2y_2^2 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \Longleftrightarrow \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 1 & = & y_1^2 \\ 9 & = & y_2^2 \\ \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_1 & = & \pm 1 \\ y_2 & = & \pm 3 \\ \end{array}\right.$$
Puis, les deux relations $$x_1 \, y_1 = -1$$ et $$x_2 \, y_2 = -6$$ nous apprennent que les deux nombres $$x_1$$ et $$y_1$$ sont de signes opposés, alors que $$x_2$$ et $$y_2$$ sont de signes opposés. On a alors :
$${\color{blue}{\boxed{z_1 = -1+i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z_1 = 1-i}}}$$
et :
$${\color{blue}{\boxed{z_2 = -2+3i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z_2 = 2-3i}}}$$

Finalement, les solutions recherchées pour l'équation initiale sont :
$${\color{red}{\boxed{z = -1+i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z = 1-i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z = -2+3i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z = 2-3i}}}$$

$$z^2+e^{i\frac{2\pi }{3}}z-\frac{3}{4}e^{i\frac{4\pi }{3}}=0$$
Le discriminant associé est :
$$\Delta ={\left(e^{i\frac{2\pi }{3}}\right)}^2-4\times \left(-\frac{3}{4}e^{i\frac{4\pi }{3}}\right)$$
$$\Delta =e^{i\frac{2\times 2\pi }{3}}+3e^{i\frac{4\pi }{3}}$$
$$\Delta =e^{i\frac{4\pi }{3}}+3e^{i\frac{4\pi }{3}}$$
$$\Delta =4e^{i\frac{4\pi }{3}}$$
Or, nous pouvons écrire $$\Delta$$ sous les formes suivantes : $$\Delta ={\left(2e^{i\frac{2\pi }{3}}\right)}^2$$ ou encore $$\Delta ={\left(-2e^{i\frac{2\pi }{3}}\right)}^2$$
Il en résulte donc que les racines carrées de $$\Delta$$ sont alors : $${\delta }_1=2e^{i\frac{2\pi }{3}}$$ et $${\delta }_2=-2e^{i\frac{2\pi }{3}}$$ .
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $${\delta }_1=2e^{i\frac{2\pi }{3}}$$. On a alors :
$$z_1=\frac{-e^{i\frac{2\pi }{3}}-{\delta }_1}{2}\Longleftrightarrow z_1=\frac{-e^{i\frac{2\pi }{3}}-2e^{i\frac{2\pi }{3}}}{2}\Longleftrightarrow z_1=\frac{-3e^{i\frac{2\pi }{3}}}{2}$$
$$z_2=\frac{-e^{i\frac{2\pi }{3}}+{\delta }_1}{2}\Longleftrightarrow z_2=\frac{-e^{i\frac{2\pi }{3}}+2e^{i\frac{2\pi }{3}}}{2}\Longleftrightarrow z_2=\frac{e^{i\frac{2\pi }{3}}}{2}$$
Nous allons donner les formes algébriques des solutions.
Il vient alors que :
$$z_1=\frac{-3e^{i\frac{2\pi }{3}}}{2}\Longleftrightarrow z_1=\frac{-3}{2}\times \left(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\Longleftrightarrow z_1=\frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}i$$
$$z_2=\frac{e^{i\frac{2\pi }{3}}}{2}\Longleftrightarrow z_2=\frac{1}{2}\times \left(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\Longleftrightarrow z_2=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i$$
Finalement les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1= \frac{3}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}i \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2= -\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i}}$$

$$A=\sum _{k=0}^{4}\cos \left(\frac{\left(2k+1\right)\pi }{11} \right)$$ équivaut successivement à :
$$A=\cos \left(\frac{\pi }{11} \right)+\cos \left(\frac{3\pi }{11} \right)+\cos \left(\frac{5\pi }{11} \right)+\cos \left(\frac{7\pi }{11} \right)+\cos \left(\frac{9\pi }{11} \right)$$
$$A=\text{Re}\left(e^{\frac{i\pi }{11} } +e^{\frac{i3\pi }{11} } +e^{\frac{5i\pi }{11} } +e^{\frac{i7\pi }{11} } +e^{\frac{i9\pi }{11} } \right)$$
$$A=\text{Re}\left(e^{\frac{i\pi }{11} } \left(1+e^{\frac{i2\pi }{11} } +e^{\frac{4i\pi }{11} } +e^{\frac{i6\pi }{11} } +e^{\frac{i8\pi }{11} } \right)\right)$$
$$A=\text{Re}\left(e^{\frac{i\pi }{11} } \left(1+\left(e^{\frac{i2\pi }{11} } \right)+\left(e^{\frac{i2\pi }{11} } \right)^{2} +\left(e^{\frac{i2\pi }{11} } \right)^{3} +\left(e^{\frac{i2\pi }{11} } \right)^{4} \right)\right)$$
$$A=\text{Re}\left(e^{\frac{i\pi }{11} } \left(\frac{1-\left(e^{\frac{i2\pi }{11} } \right)^{5} }{1-e^{\frac{i2\pi }{11} } } \right)\right)$$
$$A=\text{Re}\left(e^{\frac{i\pi }{11} } \left(\frac{1-e^{\frac{i10\pi }{11} } }{1-e^{\frac{i2\pi }{11} } } \right)\right)$$
$$A=\text{Re}\left(e^{\frac{i\pi }{11} } \left(\frac{e^{\frac{i5\pi }{11} } \left(e^{-\frac{i5\pi }{11} } -e^{\frac{i5\pi }{11} } \right)}{e^{\frac{i\pi }{11} } \left(e^{-\frac{i\pi }{11} } -e^{\frac{i\pi }{11} } \right)} \right)\right)$$
$$A=\text{Re}\left(e^{\frac{i\pi }{11} } \left(\frac{e^{\frac{i5\pi }{11} } \left(-2i\sin \left(\frac{5\pi }{11} \right)\right)}{e^{\frac{i\pi }{11} } \left(-2i\sin \left(\frac{\pi }{11} \right)\right)} \right)\right)$$
$$A=\text{Re}\left(\frac{e^{\frac{i5\pi }{11} } \left(\sin \left(\frac{5\pi }{11} \right)\right)}{\left(\sin \left(\frac{\pi }{11} \right)\right)} \right)$$
$$A=\frac{\cos \left(\frac{5\pi }{11} \right)\sin \left(\frac{5\pi }{11} \right)}{\sin \left(\frac{\pi }{11} \right)}$$
$$A=\frac{\sin \left(\frac{10\pi }{11} \right)}{2\sin \left(\frac{\pi }{11} \right)}$$ car $$\sin \left(x\right)\cos \left(x\right)=\frac{1}{2} \sin \left(2x\right)$$
$$A=\frac{\sin \left(\pi -\frac{\pi }{11} \right)}{2\sin \left(\frac{\pi }{11} \right)}$$
$$A=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{11} \right)}{2\sin \left(\frac{\pi }{11} \right)}$$
Ainsi :

$$B={\mathrm{cos} \left(a\right)\ }{\mathrm{cos} \left(b\right)\ }{\mathrm{cos} \left(c\right)\ }$$ équivaut successivement à :
$$B=\left(\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2}\right)\left(\frac{e^{ib}+e^{-ib}}{2}\right)\left(\frac{e^{ic}+e^{-ic}}{2}\right)$$
$$B=\frac{1}{8}\left(e^{ia}+e^{-ia}\right)\left(e^{ib}+e^{-ib}\right)\left(e^{ic}+e^{-ic}\right)$$
$$B=\frac{1}{8}\left(e^{ia}\times e^{ib}+e^{ia}\times e^{-ib}+e^{-ia}\times e^{ib}+e^{-ia}\times e^{-ib}\right)\left(e^{ic}+e^{-ic}\right)$$
$$B=\frac{1}{8}\left(e^{i\left(a+b\right)}+e^{i\left(a-b\right)}+e^{i\left(-a+b\right)}+e^{i\left(-a-b\right)}\right)\left(e^{ic}+e^{-ic}\right)$$
$$B=\frac{1}{8}\left(e^{i\left(a+b\right)}e^{ic}+e^{i\left(a+b\right)}e^{-ic}+e^{i\left(a-b\right)}e^{ic}+e^{i\left(a-b\right)}e^{-ic}+e^{i\left(-a+b\right)}e^{ic}+e^{i\left(-a+b\right)}e^{-ic}+e^{i\left(-a-b\right)}e^{ic}+e^{i\left(-a-b\right)}e^{-ic}\right)$$
$$B=\frac{1}{8}\left(e^{i\left(a+b+c\right)}+e^{i\left(a+b-c\right)}+e^{i\left(a-b+c\right)}+e^{i\left(a-b-c\right)}+e^{i\left(-a+b+c\right)}+e^{i\left(-a+b-c\right)}+e^{i\left(-a-b+c\right)}+e^{i\left(-a-b-c\right)}\right)$$
$$B=\frac{1}{8}\left(e^{i\left(a+b+c\right)}+e^{i\left(-a-b-c\right)}+e^{i\left(a+b-c\right)}+e^{i\left(-a-b+c\right)}+e^{i\left(a-b-c\right)}+e^{i\left(-a+b+c\right)}+e^{i\left(a-b+c\right)}+e^{i\left(-a+b-c\right)}\right)$$
$$B=\frac{1}{8}\left(e^{i\left(a+b+c\right)}+e^{-i\left(a+b+c\right)}+e^{i\left(a+b-c\right)}+e^{-i\left(a+b-c\right)}+e^{i\left(a-b-c\right)}+e^{-i\left(a-b-c\right)}+e^{i\left(a-b+c\right)}+e^{-i\left(a-b+c\right)}\right)$$
$$B=\frac{1}{8}\left(2{\mathrm{cos} \left(a+b+c\right)\ }+2{\mathrm{cos} \left(a+b-c\right)\ }+2{\mathrm{cos} \left(a-b-c\right)\ }+2{\mathrm{cos} \left(a-b+c\right)\ }\right)$$
Finalement :

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = -24-10i$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -24-10i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -24-10i = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -24 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ -10 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{\left(-24\right)^2 + \left(-10\right)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{676} = 26 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} -24 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 26 & = & x^2 + y^2\\ \\ -10 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -24 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 26 & = & x^2 + y^2\\ \\ -5 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$-2 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 1 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 1$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$50 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 25 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 5$$
La troisième équation, à savoir $$-5 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de signes opposées car $$-5<0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= 1-5i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -1+5i}}$$

$$A={\left(2+2i\right)}^{21}+{\left(2-2i\right)}^{21}$$ équivaut successivement à :
$$A={\left(2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^{21}+{\left(2\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi }{4}}\right)}^{21}$$
$$A={\left(2\sqrt{2}\right)}^{21}{\times \left(e^{i\frac{\pi }{4}}\right)}^{21}+{\left(2\sqrt{2}\right)}^{21}{\times \left(e^{-i\frac{\pi }{4}}\right)}^{21}$$
$$A={\left(2\sqrt{2}\right)}^{21}e^{i\frac{21\pi }{4}}+{\left(2\sqrt{2}\right)}^{21}e^{-i\frac{21\pi }{4}}$$
$$A={\left(2\sqrt{2}\right)}^{21}\left(e^{i\frac{21\pi }{4}}+e^{-i\frac{21\pi }{4}}\right)$$
$$A={\left(2\sqrt{2}\right)}^{21}\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{21\pi }{4} \right)\ }\right)$$
$$A={\left(2\sqrt{2}\right)}^{21}\left(2{\mathrm{cos} \left(\frac{21\pi }{4}-6\pi \right)\ }\right)$$
$$A={\left(2\sqrt{2}\right)}^{21}\left(2{\mathrm{cos} \left(-\frac{3\pi }{4}\right)\ }\right)$$
Ainsi :