Racines carrées d'un nombre complexe - Exercice 2

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = \sqrt{e}+i\pi$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \sqrt{e}+i\pi = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \sqrt{e}+i\pi = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sqrt{e} & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \pi & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{\sqrt{e}^2 + \pi^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{e+\pi^2} = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \sqrt{e} & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \sqrt{e+\pi^2} & = & x^2 + y^2\\ \\ \pi & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} \sqrt{e} & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \sqrt{e+\pi^2} & = & x^2 + y^2\\ \\ \dfrac{\pi}{2} & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$\sqrt{e+\pi^2} + \sqrt{e} = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{\sqrt{e+\pi^2} + \sqrt{e}}{2} = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{e+\pi^2} + \sqrt{e}}{2}}$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$\sqrt{e+\pi^2} - \sqrt{e} = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \dfrac{\sqrt{e+\pi^2} - \sqrt{e}}{2} = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{e+\pi^2} - \sqrt{e}}{2}}$$
La troisième équation, à savoir $$\dfrac{\pi}{2} = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de même signe car $$\dfrac{\pi}{2}>0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= \sqrt{\dfrac{\sqrt{e+\pi^2} + \sqrt{e}}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{e+\pi^2} - \sqrt{e}}{2}} \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -\sqrt{\dfrac{\sqrt{e+\pi^2} + \sqrt{e}}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{e+\pi^2} - \sqrt{e}}{2}}}}$$

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = 9-40i$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9-40i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 9-40i = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 9 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ -40 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{1681} = 41 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 9 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 41 & = & x^2 + y^2\\ \\ -40 & = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} 9 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 41 & = & x^2 + y^2\\ \\ -20 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$50 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 25 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 5$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$32 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 16 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 4$$
La troisième équation, à savoir $$-20 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de signes opposés car $$-20<0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= 5-4i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -5+4i}}$$

On pose $$z = x + iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels, tel que $$z$$ soit racine carrée de $$Z = -48+14i$$. On a alors :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -48+14i = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -48+14i = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -48 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 14 & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{\left(-48\right)^2 + 14^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
Soit encore :
$$\sqrt{2500} = 50 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} -48 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 50 & = & x^2 + y^2\\ \\ 14& = & 2xy\end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -48 & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ 50 & = & x^2 + y^2\\ \\ 7 & = & xy \end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$2 = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 1 = x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 1$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$98 = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 49 = y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 7$$
La troisième équation, à savoir $$7 = xy$$ nous permet de savoir que $$x$$ et $$y$$ sont deux nombres réels de même signe car $$7>0$$. On a alors :
$$\color{red}{\boxed{z= 1+7i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z= -1-7i}}$$