Nombres complexes en Physique - Exercice 1

Un $${\color{red}{\bf{filtre}}}$$ est un dispositif mécanique ou électrique, qui permet de diminuer l'amplitude des signaux sinusoïdaux qui se présentent à son entrée lorsque leur fréquence $$f$$ (ou pulsation $$\omega$$ à un facteur $$2\pi$$ près) n'appartient pas un intervalle de fréquence préalablement déterminé.
L'action d'un $${\color{red}{\bf{filtre}}}$$ est déterminée par sa $${\color{red}{\bf{fonction \,\, de \,\, transfert}}}$$, qui est usuellement notée $$\mathcal{H}$$. Cette $${\color{red}{\bf{fonction \,\, de \,\, transfert}}}$$ est un nombre complexe qui dépend de la pulsation $$\omega$$ du signal d'entrée. La pulsation $$\omega$$ est un nombre réel strictement positif et même strictement plus grand que $$1$$.
Par exemple, pour un $${\color{red}{\bf{filtre}}}$$ électronique $${\color{blue}{\bf{passe \,\, bande \,\, (du \,\, second \,\, ordre)}}}$$ la fonction de transfert peut-être donnée par l'expression suivante :
$$\mathcal{H}(\omega) = \dfrac{1}{1 + j \, Q \, \left( \omega - \dfrac{1}{\omega} \right)}$$
Avec $$j^2 = -1$$ et $$Q$$ est un nombre réel strixtement positif qui s'appelle le facteur de qualité.
Déterminer le module et l'argument de cette fonction de transfert.

En Mécanique, l'étude d'une masse $$m$$ soumise à des oscillations amorties, par une force de frottement visqueuse, et excitée périodiquement par une force cosinusïdale de pulsation $$\omega$$ est en en fait soumise à trois forces :
$$\bullet \,\,$$ une force de rappel vers sa position d'équilibre, notée $$-k \vec{x}$$ ou $$k>0$$ est le coefficient réel de raideur et $$\vec{x}$$ le vecteur déplacement de la masse $$m$$ ;
$$\bullet \, \bullet \,\,$$ une force de frottement de type visqueuse, notée $$-k \vec{v} = \dfrac{d \, \vec{x}}{dt}$$ ou $$f>0$$ est le coefficient réel de frottement et $$\vec{v}$$ le vecteur vitesse de la masse $$m$$ ;
$$\bullet \, \bullet \, \bullet \,\,$$ une force d'excitation cosinusoïdale, notée $$F \cos(\omega\,t) \dfrac{\vec{x}}{|\vec{x}|} = F \cos(\omega\,t) \dfrac{\vec{x}}{x}$$ ou $$F>0$$ est l'amplitude de la force excitatrice.
Le déplacement horizontal $$x$$ de la masse dépend du temps $$t$$, c'est pourquoi on note $$x=x(t)=|\vec{x}(t)|$$. La modélisation mathématique de ce système mécanique se traduit par l'équation différentielle du second ordre suivante :
$$m \, \dfrac{d^2 \, x(t)}{dt^2} + f \, \dfrac{d \, x(t)}{dt} + k \, x(t) = F \cos(\omega \, t)$$
Dans cette équation différentielle, le terme $$\dfrac{d^2 \, x(t)}{dt^2}$$ est la dérivée seconde par rapport au temps $$t$$ du déplacement $$x(t)$$, et le terme $$\dfrac{d \, x(t)}{dt}$$ est la dérivée seconde par rapport au temps $$t$$ du déplacement $$x(t)$$.
La forme mathématique de la solution est $$x(t) = A \, \cos(\omega \, t + \varphi)$$ ou $$\varphi$$ est un nombre réel appelé déphasage. A cette forme de solution, on va pouvoir associer le nombre complexe $$z_x$$ tel que :
$$z_x = A \, e^{i \, \left( \omega\, t + \varphi \right) } \,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\, x(t)=\Re é\left( z_x \right) \,\,\,\,\, \mathrm{avec} \,: i^2 = -1$$
On pose alors :
$$z_x = \mathcal{A}_x \, e^{i \, \omega\, t} \,\,\,\,\,\, \mathrm{avec \, :} \,\, \mathcal{A}_x = A \, e^{i \, \varphi}$$
Le terme $$\mathcal{A}_x$$ s'appelle l'amplitude complexe.
De plus, on note :
$$z_F = F \, e^{i \, \omega\, t} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,F \cos(\omega \, t) = \Re é\left({\color{black} {z_F}}\right)$$
Ainsi, on obtient l'équation différentielle suivante :
$$m \, \dfrac{d^2 \, z_x}{dt^2} + f \, \dfrac{d \, z_x}{dt} + k \, z_x = z_F$$
A l'aide des nombres complexes, déterminer la solution réelle $$x(t)$$ de l'équation différentielle proposée initialement. Pour cela, on supposera que $$k - m \, \omega^2 > 0$$ et que $$f \, \omega > 0$$.