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Linéariser les expressions de la forme cos⁡n(ax){\cos}^n\left(ax\right) et sin⁡m(bx){\sin}^m\left(bx\right) - Exercice 1

45 min
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Soit θ\theta un nombre réel. Linéariser une expression trigonométrique du type cos⁡n(θ)\cos^n(\theta), sin⁡n(θ)\sin^n(\theta) ou encore cos⁡n(θ)×sin⁡p(θ)\cos^n(\theta) \times \sin^p(\theta) (avec nn et pp qui sont deux nombres entiers naturels non nuls) consiste à les exprimer comme des sommes de termes de la forme cos⁡(kθ)\cos(k\theta) et sin⁡(kθ)\sin(k\theta) ou kk est un nombre entier naturel non nul.
Pour réaliser cela on fait usage des deux formules d'EulerEuler, à savoir :
∀θ∈R,  cos⁡(θ)=ei θ+e−i θ2    et    sin⁡(θ)=ei θ−e−i θ2 i\forall \theta \in \mathbb{R}, \,\, \cos(\theta) = \dfrac{e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta}}{2} \,\,\,\, \mathrm{et} \,\,\,\, \sin(\theta) = \dfrac{e^{i\, \theta} - e^{-i\, \theta}}{2\,i}
Cette technique de linéarisation est très utile pour intégrer certaines expressions trigonométriques. En revanche, c'est une technique calculatoire et qui peut s'avérer parfois longue. Cependant, cette technique de linéarisation repose sur la puissance calculatoire associée à l'exponentielle.
Question 1

Soit xx un nombre réel. Linéariser l'expression cos⁡2(x)\cos^2(x).

Correction
    Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • cos⁡2(x)=(eix+e−ix2)2\cos ^{2} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} +e^{-ix} }{2} \right)^{2} équivaut successivement à :
    cos⁡2(x)=(eix+e−ix)222\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{2^{2} }
    cos⁡2(x)=(eix+e−ix)24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} +e^{-ix} \right)^{2} }{4}
    cos⁡2(x)=(eix)2+2eixe−ix+(e−ix)24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} \right)^{2} +2e^{ix} e^{-ix} +\left(e^{-ix} \right)^{2} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+2eix−ix+e−2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{ix-ix} +e^{-2ix} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+2e0+e−2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2e^{0} +e^{-2ix} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+2+e−2ix4\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +2+e^{-2ix} }{4}
    cos⁡2(x)=e2ix+e−2ix4+24\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{e^{2ix} +e^{-2ix} }{4} +\frac{2}{4}
    cos⁡2(x)=12×(e2ix+e−2ix2)+12\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \times \left(\frac{e^{{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} +e^{-{\color{red}{2}}i{\color{blue}{x}}} }{2} \right)+\frac{1}{2}
    Ainsi :
    cos⁡2(x)=12cos⁡(2x)+12\cos ^{2} \left(x\right)=\frac{1}{2} \cos \left({\color{red}{2}}{\color{blue}{x}}\right)+\frac{1}{2}

    Question 2

    Soit θ\theta un nombre réel. Linéariser l'expression cos⁡3(θ)\cos^3(\theta).

    Correction
    On a :
    cos⁡3(θ)=(ei θ+e−i θ2)3=(ei θ+e−i θ)38=(ei θ)3+3(ei θ)2e−i θ+3ei θ(e−i θ)2+(e−i θ)38\cos^3(\theta) = \left( \dfrac{e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta}}{2} \right)^3 = \dfrac{\left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)^3}{8} = \dfrac{\left( e^{i\, \theta} \right)^3 + 3 \left(e^{i\, \theta} \right)^2 e^{-i\, \theta} + 3 e^{i\, \theta} \left( e^{-i\, \theta} \right)^2 + \left( e^{-i\, \theta} \right)^3}{8}
    Ce qui nous donne donc :
    cos⁡3(θ)=e3i θ+3e2i θe−i θ+3ei θe−2i θ+e−3i θ8=e3i θ+3ei θ+3e−i θ+e−3i θ8=e3i θ+e−3i θ+3(ei θ+e−i θ)8\cos^3(\theta) = \dfrac{e^{3i\, \theta} + 3 e^{2i\, \theta} e^{-i\, \theta} + 3 e^{i\, \theta} e^{-2i\, \theta} + e^{-3i\, \theta}}{8} = \dfrac{e^{3i\, \theta} + 3 e^{i\, \theta} + 3 e^{-i\, \theta} + e^{-3i\, \theta}}{8} = \dfrac{e^{3i\, \theta} + e^{-3i\, \theta} + 3 \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{8}
    Soit encore :
    cos⁡3(θ)=2cos⁡(3θ)+3×2cos⁡(θ)8=2cos⁡(3θ)+6cos⁡(θ)8\cos^3(\theta) = \dfrac{2 \cos(3\theta) + 3\times 2\cos(\theta)}{8} = \dfrac{2\cos(3\theta) + 6\cos(\theta)}{8}
    Finalement, on obtient la linéarisation suivante :
    cos⁡3(θ)=34cos⁡(θ)+14cos⁡(3θ){\color{red}{\boxed{ \cos^3(\theta) = \dfrac{3}{4}\cos(\theta) + \dfrac{1}{4}\cos(3\theta) }}}
    Question 3

    Soit xx un nombre réel. Linéariser l'expression sin⁡4(x)\sin^4(x).

    Correction
      Les formules d’Euler\red{\text{Les formules d'Euler}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(x)=eix+e−ix2\cos \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(x)=eix−e−ix2i\sin \left({\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{blue}{x}}} }{2i}
  • Soit a{\color{red}{a}} un réel. Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R}, on a : cos⁡(ax)=eiax+e−iax2\cos \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} +e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2} et sin⁡(ax)=eiax−e−iax2i\sin \left({\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}\right)=\frac{e^{i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} -e^{-i{\color{red}{a}}{\color{blue}{x}}} }{2i}
    • sin⁡4(x)=(eix−e−ix2i)4\sin ^{4} \left(x\right)=\left(\frac{e^{ix} -e^{-ix} }{2i} \right)^{4}
    sin⁡4(x)=(eix−e−ix)4(2i)4\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{\left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{4} }{\left(2i\right)^{4} }
    sin⁡4(x)=116(eix−e−ix)4\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \left(e^{ix} -e^{-ix} \right)^{4}
    On va appliquer le binôme de newton :
      Formule du binoˆme de Newton\red{\text{Formule du binôme de Newton}}
    Soient aa et bb deux nombres complexes. Pour tout entier naturel nn, on a : (a+b)n=∑k=0n(nk)akbn−k\left(a+b\right)^{n} =\sum _{k=0}^{n}\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) a^{k} b^{n-k}
    sin⁡4(x)=116×((40)×(eix)0×(−e−ix)4+(41)×(eix)1×(−e−ix)4−1+(42)×(eix)2×(−e−ix)4−2+(43)×(eix)3×(−e−ix)4−3+(44)×(eix)4×(−e−ix)4−4)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(\left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{0} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {1} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-1} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-2} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-3} +\left(\begin{array}{c} {4} \\ {4} \end{array}\right)\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-4} \right)
    sin⁡4(x)=116×(1×(eix)0×(−e−ix)4+4×(eix)1×(−e−ix)4−1+6×(eix)2×(−e−ix)4−2+4×(eix)3×(−e−ix)4−3+1×(eix)4×(−e−ix)4−4)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(1\times \left(e^{ix} \right)^{0} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +4\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-1} +6\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-2} +4\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-3} +1\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{4-4} \right)
    sin⁡4(x)=116×(1×1×(−e−ix)4+4×(eix)1×(−e−ix)3+6×(eix)2×(−e−ix)2+4×(eix)3×(−e−ix)1+1×(eix)4×(−e−ix)0)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(1\times 1\times \left(-e^{-ix} \right)^{4} +4\times \left(e^{ix} \right)^{1} \times \left(-e^{-ix} \right)^{3} +6\times \left(e^{ix} \right)^{2} \times \left(-e^{-ix} \right)^{2} +4\times \left(e^{ix} \right)^{3} \times \left(-e^{-ix} \right)^{1} +1\times \left(e^{ix} \right)^{4} \times \left(-e^{-ix} \right)^{0} \right)
    sin⁡4(x)=116×(e−4ix−4eix×e−3ix+6×ei2x×e−2ix−4×e3ix×e−ix+1×e−4ix×1)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{ix} \times e^{-3ix} +6\times e^{i2x} \times e^{-2ix} -4\times e^{3ix} \times e^{-ix} +1\times e^{-4ix} \times 1\right)
    cos⁡4(x)=116×(e−4ix−4e−2ix+6×e0−4e2ix+e−4ix)\cos ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{-2ix} +6\times e^{0} -4e^{2ix} +e^{-4ix} \right)
    sin⁡4(x)=116×(e−4ix−4e−2ix+6−4e2ix+e−4ix)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} -4e^{-2ix} +6-4e^{2ix} +e^{-4ix} \right)
    sin⁡4(x)=116×(e−4ix+e−4ix−4e−2ix−4e2ix+6)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} +e^{-4ix} -4e^{-2ix} -4e^{2ix} +6\right)
    sin⁡4(x)=116×(e−4ix+e−4ix−4(e−2ix+e2ix)+6)\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{16} \times \left(e^{-4ix} +e^{-4ix} -4\left(e^{-2ix} +e^{2ix} \right)+6\right)
    sin⁡4(x)=e−4ix+e−4ix16−4(e−2ix+e2ix)16+616\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{16} -\frac{4\left(e^{-2ix} +e^{2ix} \right)}{16} +\frac{6}{16}
    sin⁡4(x)=e−4ix+e−4ix16−e−2ix+e2ix4+38\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{16} -\frac{e^{-2ix} +e^{2ix} }{4} +\frac{3}{8}
    sin⁡4(x)=18×e−4ix+e−4ix2−12×e−2ix+e2ix2+38\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{8} \times \frac{e^{-4ix} +e^{-4ix} }{2} -\frac{1}{2} \times \frac{e^{-2ix} +e^{2ix} }{2} +\frac{3}{8}
    Soit :
    sin⁡4(x)=18cos⁡(4x)−12cos⁡(2x)+38\sin ^{4} \left(x\right)=\frac{1}{8} \cos \left(4x\right)-\frac{1}{2} \cos \left(2x\right)+\frac{3}{8}

    Question 4

    Soit θ\theta un nombre réel. Linéariser l'expression sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)\sin^4(\theta)\cos^2(\theta).

    Correction
    On a :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=(ei θ−e−i θ2i)4×(ei θ+e−i θ2)2=(ei θ−e−i θ)4×(ei θ+e−i θ)264\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \left( \dfrac{e^{i\, \theta} - e^{-i\, \theta}}{2i}\right)^4 \times \left( \dfrac{e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta}}{2} \right)^2 = \dfrac{\left( e^{i\, \theta} - e^{-i\, \theta} \right)^4 \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)^2}{64}
    Soit :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=(ei θ−e−i θ)4×(ei θ+e−i θ)264\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\left( e^{i\, \theta} - e^{-i\, \theta} \right)^4 \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)^2}{64}
    Ce qui nous donne donc :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=(e4i θ−4e3i θe−i θ+6e2i θe−2i θ−4ei θe−3i θ+e−4i θ)×(e2i θ+2ei θe−i θ+e−2i θ)64\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\left( e^{4i\, \theta} - 4e^{3i\, \theta} e^{-i\, \theta} + 6e^{2i\, \theta}e^{-2i\, \theta} - 4e^{i\, \theta} e^{-3i\, \theta} + e^{-4i\, \theta}\right) \times \left( e^{2i\, \theta} + 2e^{i\, \theta}e^{-i\, \theta} + e^{-2i\, \theta} \right)}{64}
    En simplifiant les exponentielles, on obtient alors :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=(e4i θ−4e2i θ+6e0−4e−2i θ+e−4i θ)×(e2i θ+2e0+e−2i θ)64\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\left( e^{4i\, \theta} - 4e^{2i\, \theta} + 6e^{0} - 4e^{-2i\, \theta} + e^{-4i\, \theta}\right) \times \left( e^{2i\, \theta} + 2e^{0} + e^{-2i\, \theta} \right)}{64}
    Comme e0=1e^0 = 1, on aboutit à :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=(e4i θ−4e2i θ+6−4e−2i θ+e−4i θ)×(e2i θ+2+e−2i θ)64\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\left( e^{4i\, \theta} - 4e^{2i\, \theta} + 6 - 4e^{-2i\, \theta} + e^{-4i\, \theta}\right) \times \left( e^{2i\, \theta} + 2 + e^{-2i\, \theta} \right)}{64}
    En développant l'ensemble, on trouve que :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=e6i θ+2e4i θ+e2i θ−4e4i θ−8e2i θ−4+6e2i θ+12+6e−2i θ−4−8e−2i θ−4e−4i θ+e−2i θ+2e−4i θ+e−6i θ64\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{e^{6i\, \theta} + 2e^{4i\, \theta} + e^{2i\, \theta} - 4e^{4i\, \theta} - 8e^{2i\, \theta} - 4 + 6e^{2i\, \theta} + 12 + 6e^{-2i\, \theta} - 4 - 8e^{-2i\, \theta} - 4e^{-4i\, \theta} + e^{-2i\, \theta} + 2e^{-4i\, \theta} + e^{-6i\, \theta}}{64}
    En simplifiant, on arrive à l'expression suivante :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=e6i θ−2e4i θ−e2i θ+4−e−2i θ−2e−4i θ+e−6i θ64\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{e^{6i\, \theta} - 2e^{4i\, \theta} - e^{2i\, \theta} + 4 - e^{-2i\, \theta} - 2e^{-4i\, \theta} + e^{-6i\, \theta}}{64}
    En factorisant, on trouve que :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=e6i θ+e−6i θ−2(e4i θ+e−4i θ)−(e2i θ+e−2i θ)+464\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{e^{6i\, \theta} + e^{-6i\, \theta} - 2 \left( e^{4i\, \theta} + e^{-4i\, \theta} \right) - \left(e^{2i\, \theta} + e^{-2i\, \theta} \right) + 4}{64}
    Soit encore :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=2cos⁡(6θ)−2(2cos⁡(4θ))−(2cos⁡(2θ))+464\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{2\cos(6\theta) - 2 \left( 2\cos(4\theta) \right) - \left(2\cos(2\theta) \right) + 4}{64}
    En simplifiant par 22 :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=cos⁡(6θ)−2cos⁡(4θ)−cos⁡(2θ)+232\sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{\cos(6\theta) - 2 \cos(4\theta) - \cos(2\theta) + 2}{32}
    Finalement, on obtient la linéarisation suivante :
    sin⁡4(θ)cos⁡2(θ)=132cos⁡(6θ)−116cos⁡(4θ)−132cos⁡(2θ)+116{\color{red}{\boxed{ \sin^4(\theta)\cos^2(\theta) = \dfrac{1}{32}\cos(6\theta) - \dfrac{1}{16} \cos(4\theta) - \dfrac{1}{32}\cos(2\theta) + \dfrac{1}{16}}}}
    Question 5

    Soit θ\theta un nombre réel. Linéariser l'expression cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)\cos^3(3\theta)\cos(\theta).

    Correction
    On a :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=(e3i θ+e−3i θ2)3×(ei θ+e−i θ2)=(e3i θ+e−3i θ)3×(ei θ+e−i θ)16\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \left( \dfrac{e^{3i\, \theta} + e^{-3i\, \theta}}{2}\right)^3 \times \left( \dfrac{e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta}}{2} \right) = \dfrac{\left( e^{3i\, \theta} + e^{-3i\, \theta} \right)^3 \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{16}
    Soit :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=((e3i θ)3+3(e3i θ)2e−3i θ+3e3i θ(e−3i θ)2+(e−3i θ)3)×(ei θ+e−i θ)16\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{\left( \left(e^{3i\, \theta}\right)^3 + 3\left(e^{3i\, \theta}\right)^2e^{-3i\, \theta} + 3 e^{3i\, \theta} \left(e^{-3i\, \theta}\right)^2 + \left(e^{-3i\, \theta}\right)^3 \right) \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{16}
    Ce qui nous donne donc :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=(e9i θ+3e6i θe−3i θ+3e3i θe−6i θ+e−9i θ)×(ei θ+e−i θ)16\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{\left( e^{9i\, \theta} + 3e^{6i\, \theta} e^{-3i\, \theta} + 3 e^{3i\, \theta} e^{-6i\, \theta} + e^{-9i\, \theta} \right) \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{16}
    Soit :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=(e9i θ+3e3i θ+3e−3i θ+e−9i θ)×(ei θ+e−i θ)16\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{\left( e^{9i\, \theta} + 3e^{3i\, \theta} + 3 e^{-3i\, \theta} + e^{-9i\, \theta} \right) \times \left( e^{i\, \theta} + e^{-i\, \theta} \right)}{16}
    En développant, on obtient :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=e10i θ+e8i θ+3e4i θ+3e−2i θ+3e−2i θ+3e−4i θ+e−8i θ+e−10i θ16\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{e^{10i\, \theta} + e^{8i\, \theta} + 3e^{4i\, \theta} + 3e^{-2i\, \theta} + 3e^{-2i\, \theta} + 3e^{-4i\, \theta} + e^{-8i\, \theta} + e^{-10i\, \theta}}{16}
    En regroupant les différents termes, on obtient :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=e10i θ+e−10i θ+e8i θ+e−8i θ+3(e4i θ+e−4i θ)+3(e−2i θ+e−2i θ)16\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{e^{10i\, \theta} + e^{-10i\, \theta} + e^{8i\, \theta} + e^{-8i\, \theta} + 3 \left( e^{4i\, \theta} + e^{-4i\, \theta} \right) + 3 \left( e^{-2i\, \theta} + e^{-2i\, \theta} \right)}{16}
    Ce qui nous donne :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=2cos⁡(10θ)+2cos⁡(8θ)+3(2cos⁡(4θ))+3(2cos⁡(2θ))16\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{2\cos(10\theta) + 2\cos(8\theta) + 3 \left( 2\cos(4\theta) \right) + 3 \left( 2\cos(2\theta) \right)}{16}
    Ainsi :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=2cos⁡(10θ)+2cos⁡(8θ)+6cos⁡(4θ)+6cos⁡(2θ)16\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{2\cos(10\theta) + 2\cos(8\theta) + 6\cos(4\theta) + 6\cos(2\theta)}{16}
    En simplifiant par 22, on a :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=cos⁡(10θ)+cos⁡(8θ)+3cos⁡(4θ)+3cos⁡(2θ)8\cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{\cos(10\theta) + \cos(8\theta) + 3\cos(4\theta) + 3\cos(2\theta)}{8}
    Finalement :
    cos⁡3(3θ)cos⁡(θ)=18cos⁡(10θ)+18cos⁡(8θ)+38cos⁡(4θ)+38cos⁡(2θ){\color{red}{\boxed{ \cos^3(3\theta)\cos(\theta) = \dfrac{1}{8}\cos(10\theta) + \dfrac{1}{8} \cos(8\theta) + \dfrac{3}{8}\cos(4\theta) + \dfrac{3}{8}\cos(2\theta) }}}
    Question 6

    Soit xx un nombre réel. Linéariser l'expression cos⁡2(x)sin⁡3(x)\cos ^2(x) \sin ^3(x) .

    Correction
    cos⁡2(x)sin⁡3(x)=(eix+e−ix2)2(eix+e−ix2i)3\cos ^2(x) \sin ^3(x)= \left(\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2}\right)^2\left(\frac{e^{i x}+e^{-i x}}{2 i}\right)^3
    cos⁡2(x)sin⁡3(x)=1−32i(eix+e−ix)2(eix−e−ix)2(eix−e−ix)\cos ^2(x) \sin ^3(x)= \frac{1}{-32 i}\left(e^{i x}+e^{-i x}\right)^2\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)^2\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)
    cos⁡2(x)sin⁡3(x)=−132i[(eix+e−ix)(eix−e−ix)]2(eix−e−ix)\cos ^2(x) \sin ^3(x)= \frac{-1}{32 i}\left[\left(e^{i x}+e^{-i x}\right)\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)\right]^2\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)
    cos⁡2(x)sin⁡3(x)=−132i(e2ix−e−2ix)2(eix−e−ix)\cos ^2(x) \sin ^3(x)= \frac{-1}{32 i}\left(e^{2 i x}-e^{-2 i x}\right)^2\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)
    cos⁡2(x)sin⁡3(x)=−132i(e4ix−2+e−4ix)(eix−e−ix)\cos ^2(x) \sin ^3(x)=\frac{-1}{32 i}\left(e^{4 i x}-2+e^{-4 i x}\right)\left(e^{i x}-e^{-i x}\right)
    cos⁡2(x)sin⁡3(x)=−132i(e5ix−e3ix−2eix+2e−ix+e−3ix−e−5ix)\cos ^2(x) \sin ^3(x) =\frac{-1}{32 i}\left(e^{5 i x}-e^{3 i x}-2 e^{i x}+2 e^{-i x}+e^{-3 i x}-e^{-5 i x}\right)
    cos⁡2(x)sin⁡3(x)=−116(e5ix−e−5ix2i−e3ix−e−3ix2i−2eix−e−ix2i)\cos ^2(x) \sin ^3(x) =\frac{-1}{16}\left(\frac{e^{5 i x}-e^{-5 i x}}{2 i}-\frac{e^{3 i x}-e^{-3 i x}}{2 i}-2 \frac{e^{i x}-e^{-i x}}{2 i}\right)
    Finalement : cos⁡2(x)sin⁡3(x)=−sin⁡(5x)16+sin⁡(3x)16+18sin⁡(x){\color{red}{\boxed{ \cos ^2(x) \sin ^3(x)=-\frac{\sin (5 x)}{16}+\frac{\sin (3 x)}{16}+\frac{1}{8} \sin (x) }}}