Les racines carrées d'un nombres complexes

$$\pink{\text{Démonstration :}}$$
Soit $$i$$ le nombre complexe imaginaire tel que $$i^2=1$$. Une méthode simple pour déterminer les racines carrées d'un nombre complexe $$Z$$ de forme algébrique $$Z=a + ib$$ (ou $$a$$ et $$b$$ sont des réels) est de poser $$z = x + iy$$ (ou $$x$$ et $$y$$ sont des réels) puis de résoudre le système d'équations à deux inconnues qui en résulte :
$$Z=z^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a+ib = (x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, a+ib = x^2-y^2+i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ b & = & 2xy\end{array} \right.$$
De plus, l'égalité initiale $$Z=z^2$$ nous donne, en module, $$|Z|=|z^2| = |z|^2$$. Ainsi on a :
$$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{x^2 + y^2}^2 = x^2 + y^2$$
On a alors les trois équations de déterminations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} a & = & x^2 - y^2 \\ & & \\ \sqrt{a^2 + b^2} & = & x^2 + y^2\\ \\ b & = & 2xy\end{array} \right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières nous conduit à :
$$\sqrt{a^2 + b^2} + a = 2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2 + b^2} + a}{2}}$$
Puis, la soustraction, membres à membres, de la deuxième moins la première nous conduit à :
$$\sqrt{a^2 + b^2} - a = 2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm \sqrt{\dfrac{\sqrt{a^2 + b^2} - a}{2}}$$
La troisième équation, à savoir $$b = 2xy$$, doit être utiliser au travers du signe des deux membres. En effet :
$$\text{signe}(b) = \text{signe}(2xy)$$
Mais comme $$2>0$$, on a alors :
$$\text{signe}(b) = \text{signe}(xy)$$
Cette dernière condition permet de savoir si $$x$$ et $$y$$ sont de même signe (si $$b > 0$$) ou de signes opposés (si $$b > 0$$). C'est comme cela que les deux racines carrées $$z$$ se construisent par rapport aux deux choix des signes de $$x$$ et $$y$$, et ces deux racines carrées sont opposées l'une de l'autre.
Le cas particulier $$b=0$$ implique que $$Z = a$$ est un réel pur. Auquel cas, il est évident que :

si $$a>0$$ alors les deux racines carrées recherchées sont $$z = \sqrt{a}$$ et $$z = -\sqrt{a}$$ ;

si $$a<0$$ alors les deux racines carrées recherchées sont $$z = i\sqrt{-a}$$ et $$z = - i\sqrt{-a}$$ ;

si $$a=0$$ alors les deux racines carrées recherchées sont identiques, et on a $$z = 0$$.