D'autres équations pour s'amuser davantage - Exercice 1

Soit $$\Delta$$ le discriminant associé à cette équation.
On a :
$$\Delta = \left(2(1-\cos(\theta))\right)^2 - 4\times 1 \times 2(1-\cos(\theta)) = 4(1-\cos(\theta)) \times (1-\cos(\theta) -2) = 4(1-\cos(\theta)) \times (-\cos(\theta)-1)$$
Soit :
$$\Delta = -4(1-\cos(\theta)) \times (1+\cos(\theta)) = -4 (1^2-\cos^2(\theta)) = -4 (1-\cos^2(\theta)) = -4 \sin^2(\theta) = i^2 \times2^2 \times \sin^2(\theta)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\Delta = (\pm1)^2 \times i^2 \times2^2 \times \sin^2(\theta) = (\pm 2 i \sin(\theta))^2$$
Ainsi, les deux racines carrées, notées $$\delta$$, du discriminant complexe $$\Delta$$, sont :
$$\color{blue}{\boxed{\delta = 2i\sin(\theta) \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -2i\sin(\theta)}}$$
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $$\delta= 2i\sin(\theta)$$.
Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes.
Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée.
Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- 2(1-\cos(\theta)) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- 2(1-\cos(\theta)) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- 2(1-\cos(\theta)) + 2i\sin(\theta) }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- 2(1-\cos(\theta)) - 2i\sin(\theta)}{2} \\ \end{array} \right.$$
En simplifiant par $$2 \neq 0$$, on obtient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & - (1-\cos(\theta)) + i\sin(\theta) \\ & & \\ z_2 & = & - (1-\cos(\theta)) - i\sin(\theta) \\ \end{array} \right.$$
Or, pour tout nombre réel $$x$$, on sait que $$\sin^2(x) = \dfrac{1-\cos(2x)}{2}$$ ce qui implique que $$1-\cos(2x) = 2 \sin^2(x)$$.
Donc, on en déduit que $$1-\cos(\theta) = 2 \sin^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$$.
Ainsi, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & - 2 \sin^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right) + i\sin(\theta) \\ & & \\ z_2 & = & - 2 \sin^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right) - i\sin(\theta) \\ \end{array} \right.$$
Cependant, on a également :
$$\sin(\theta) = \sin\left(2\times\dfrac{\theta}{2}\right) = 2 \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$$
Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & - 2 \sin^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right) + 2i \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \\ & & \\ z_2 & = & - 2 \sin^2\left(\dfrac{\theta}{2}\right) - 2i \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \\ \end{array} \right.$$
En factorisant par le terme $$2 \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right)$$, on trouve alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & 2 \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \left(- \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) + i \cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \right) \\ & & \\ z_2 & = & 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \left(- \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) - i \cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \right) \\ \end{array} \right.$$
De plus, on a $$- \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) = \cos\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right)$$. Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & 2 \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \left(\cos\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) + i \cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \right) \\ & & \\ z_2 & = & 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \left(\cos\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - i \cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \right) \\ \end{array} \right.$$
Puis, de la même manière identique, on sait que $$\cos\left(\dfrac{\theta}{2}\right) = \sin\left(\dfrac{\theta }{2} + \dfrac{\pi}{2}\right)$$.
Ainsi, on trouve que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & 2 \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \left(\cos\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) + i \sin\left(\dfrac{\theta }{2} + \dfrac{\pi}{2}\right) \right) \\ & & \\ z_2 & = & 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \left(\cos\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) - i \sin\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2}\right) \right) \\ \end{array} \right.$$
Comme la fonction sinus est impaire, on a :
$$- i \sin\left(\dfrac{\theta }{2} + \dfrac{\pi}{2}\right) = i \sin\left(-\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right)$$
Et la fonction cosinus est paire, ce qui nous permet d'écrire que :
$$\cos\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) = \cos\left(-\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right)$$
on a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & 2 \sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \left(\cos\left(\dfrac{\theta}{2} + \dfrac{\pi}{2} \right) + i \sin\left(\dfrac{\theta }{2} + \dfrac{\pi}{2}\right) \right) \\ & & \\ z_2 & = & 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \left(\cos\left(-\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right) + i \sin\left(-\dfrac{\theta}{2} - \dfrac{\pi}{2}\right) \right) \\ \end{array} \right.$$
Finalement, avec l'usage de l'écriture en exponentielle complexe, les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1 = 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)} \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2 = 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) e^{-i\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}\right)}}}$$
On peut donc conclure que :
$$\color{red}{\boxed{|z_1| = |z_2| = 2\sin\left(\dfrac{\theta}{2}\right) }}$$
Et aussi que :
$$\color{red}{\boxed{\arg(z_1) = - \arg(z_2) = \frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{2}}}$$

Soit $$\Delta$$ le discriminant associé à cette équation. On a :
$$\Delta = \left(- 2(k\cos(\theta) + i \sin(\theta))\right)^2 - 4 \times 1 \times (k^2-1) = 4(k\cos(\theta) + i \sin(\theta))^2-4(k^2-1)$$
Soit :
$$\Delta = 4\left( k^2\cos^2(\theta) +2ik \cos(\theta)\sin(\theta) - \sin^2(\theta) - k^2 + 1\right) = 4\left( k^2 \left({\color{blue}{\cos^2(\theta) - 1}} \right) +2ik \cos(\theta)\sin(\theta) {\color{red}{- \sin^2(\theta) + 1}}\right)$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\Delta = 4\left( k^2 \left({\color{blue}{-\sin^2(\theta)}} \right) +2ik \cos(\theta)\sin(\theta) + {\color{red}{\cos^2(\theta)}}\right) = 4\left( k^2 \left({\color{blue}{i^2\sin^2(\theta)}} \right) +2ik \cos(\theta)\sin(\theta) + {\color{red}{\cos^2(\theta)}}\right)$$
Ce qui peut encore s'écrire comme :
$$\Delta = 4\left( \left({\color{green}{ik\sin(\theta)}} \right)^2 + 2 {\color{green}{ik\sin(\theta)}} {\color{red}{\cos(\theta)}} + \left({\color{red}{\cos(\theta)}} \right)^2\right)$$
On reconnait la présence d'une identité remarquable, et on a :
$$\Delta = 4\left( \left(ik\sin(\theta) + \cos(\theta) \right)^2\right) = 2^2\left( \left(ik\sin(\theta) + \cos(\theta) \right)^2\right) = \left( 2\left(ik\sin(\theta) + \cos(\theta) \right)\right)^2$$
Mais comme $$(\pm 1)^2 = 1$$ on en déduit que :
$$\Delta = \left( \pm 2 \left(ik\sin(\theta) + \cos(\theta) \right)\right)^2$$
Ainsi, les deux racines carrées, notées $$\delta$$, du discriminant complexe $$\Delta$$, sont :
$$\color{blue}{\boxed{\delta = 2 \left(\cos(\theta) + i \,k\sin(\theta) \right) \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = - 2 \left(\cos(\theta) + i \,k\sin(\theta) \right)}}$$
Choisissons arbitrairement (car cela n'a strictement aucune incidence puisque les deux valeurs complexes obtenues précédemment pour $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre) $$\delta = 2 \left(\cos(\theta) + i \,k\sin(\theta) \right)$$. Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient $$z_1$$ et $$z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{- \left( - 2(k\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \right) + \delta }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{- \left( - 2(k\cos(\theta) + i \sin(\theta)) \right) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & \dfrac{2(k\cos(\theta) + i \sin(\theta)) + 2 \left(\cos(\theta) + i \,k\sin(\theta) \right) }{2} \\ & & \\ z_2 & = & \dfrac{2(k\cos(\theta) + i \sin(\theta)) - 2 \left(\cos(\theta) + i \,k\sin(\theta) \right)}{2} \\ \end{array} \right.$$
En simplifiant par $$2 \neq 0$$, on obtient :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & k\cos(\theta) + i \sin(\theta) + \left(\cos(\theta) + i \,k\sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & k\cos(\theta) + i \sin(\theta) - \left(\cos(\theta) + i \,k\sin(\theta) \right) \\ \end{array} \right.$$
Soit encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & k\cos(\theta) + i \sin(\theta) + \cos(\theta) + i \,k\sin(\theta) \\ & & \\ z_2 & = & k\cos(\theta) + i \sin(\theta) - \cos(\theta) - i \,k\sin(\theta) \\ \end{array} \right.$$
Donc :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1)\cos(\theta) + (k+1) i \sin(\theta) \\ & & \\ z_2 & = & (k-1)\cos(\theta) -(k-1) i \sin(\theta) \\ \end{array} \right.$$
En factorisant :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1) \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (k-1) \left(\cos(\theta) - i \sin(\theta) \right) \\ \end{array} \right.$$
Comme la fonction sinus est impaire, on a :
$$- i \sin( \theta ) = i \sin(- \theta)$$
Et la fonction cosinus est paire, ce qui nous permet d'écrire que :
$$\cos( \theta ) = \cos(- \theta)$$
on a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1) \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (k-1) \left(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right) \\ \end{array} \right.$$
Finalement, avec l'usage de l'écriture en exponentielle complexe, les deux solutions complexes, de l'équation préposée initialement, sont :
$$\color{red}{\boxed{z_1 = (k+1) \, e^{i\theta} \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} z_2 = (k-1) \, e^{-i\theta}}}$$
En se souvenant que le module d'un nombre complexe est nécssairement positif ou nul, on a alors l'analyse suivante :
$${\color{blue}{\,\, \bullet \,\,}}$$ si $$k>1$$ alors :
$$\color{red}{\boxed{|z_1| = k+1 \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} |z_2| = k-1}}$$
Et :
$$\color{red}{\boxed{\arg(z_1) = \theta \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} \arg(z_2) = -\theta }}$$
$${\color{blue}{\,\, \bullet \, \bullet \,\,}}$$ si $$k=1$$ alors :
$$\color{red}{\boxed{|z_1| = 2 \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} |z_2| = 0}}$$
Et :
$$\color{red}{\boxed{\arg(z_1) = \theta \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} \arg(z_2) \in \mathbb{R} }}$$
$${\color{blue}{\,\, \bullet \, \bullet \, \bullet \,\,}}$$ si $$-1<k<1$$ alors :
Dans ce cas, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1) \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (k-1) \left(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right) \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1) \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & -(1-k) \left(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right) \\ \end{array} \right.$$
Ce qui nous sonne encore :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1) \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (1-k) \left(-\cos(-\theta) - i \sin(-\theta) \right) \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1) \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (1-k) \left(-\cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ \end{array} \right.$$
En se souvenant que $$-\cos(\theta) = \cos(\pi - \theta)$$ et que $$\sin(\theta) = \sin(\pi - \theta)$$, on en déduit que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1) \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (1-k) \left(\cos\pi - \theta) + i \sin(\pi - \theta) \right) \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1) e^{i\theta} \\ & & \\ z_2 & = & (1-k) e^{i(\pi - \theta)} \\ \end{array} \right.$$
Donc :
$$\color{red}{\boxed{|z_1| = k+1 \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} |z_2| = 1-k}}$$
Et :
$$\color{red}{\boxed{\arg(z_1) = \theta \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} \arg(z_2) = \pi - \theta }}$$
$${\color{blue}{\,\, \bullet \, \bullet \, \bullet \, \bullet \,\,}}$$ si $$k=-1$$ alors :
$$\color{red}{\boxed{|z_1| = 0 \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} |z_2| = 2}}$$
Et :
$$\color{red}{\boxed{\arg(z_1) \in \mathbb{R} \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} \arg(z_2) = \pi - \theta }}$$
$${\color{blue}{\,\, \bullet \, \bullet \, \bullet \, \bullet \, \bullet \,\,}}$$ si $$-1<k$$ alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (k+1) \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (k-1) \left(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right) \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & -(-k-1) \left( \cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & -(1-k) \left(\cos(-\theta) + i \sin(-\theta) \right) \\ \end{array} \right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (-k-1) \left( -\cos(\theta) - i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (1-k) \left(-\cos(-\theta) - i \sin(-\theta) \right) \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (-k-1) \left( -\cos(\theta) - i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (1-k) \left(-\cos(\theta) + i \sin(\theta) \right) \\ \end{array} \right.$$
En se souvenant que $$-\cos(\theta) = \cos(\pi - \theta)$$ et que $$\sin(\theta) = \sin(\pi - \theta)$$, on en déduit que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (-k-1) \left( -\cos(\theta) - i \sin(\theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (1-k) \left(\cos(\pi - \theta) + i \sin(\pi - \theta) \right) \\ \end{array} \right.$$
Puis, en se souvenant que $$-\cos(\theta) = \cos(\pi + \theta)$$ et que $$- \sin(\theta) = \sin(\pi + \theta)$$, on en déduit que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & (-k-1) \left( \cos(\pi + \theta) + i \sin(\pi + \theta) \right) \\ & & \\ z_2 & = & (1-k) \left(\cos(\pi - \theta) + i \sin(\pi - \theta) \right) \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} z_1 & = & -(k+1) e^{i(\pi + \theta) } \\ & & \\ z_2 & = & (1-k) e^{i(\pi - \theta)} \\ \end{array} \right.$$
$$\color{red}{\boxed{|z_1| = -(k+1) \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} |z_2| = 1-k}}$$
Et :
$$\color{red}{\boxed{\arg(z_1) = \pi + \theta \hspace{0.7cm} \text{et} \hspace{0.7cm} \arg(z_2) = \pi - \theta }}$$

Posons $$Z = z^2$$, ce qui implique que $$Z^2 = z^4$$. Ainsi l'équation devient :
$$Z^2+3(1-2i)Z+2(16-63i) = 0$$
Le discriminant associé est :
$$\Delta = (3(1-2i))^2 - 4 \times 1 \times 2(16-63i) = 9 - 36i - 36 - 8(16-63i) = -27 - 36i - 128 + 504i = -155+468i \neq0$$
Soit $$\delta$$ les racines carrées complexes de $$\Delta$$. On pose alors $$\delta = x+iy$$, avec $$x$$ et $$y$$ deux nombres réels. On a alors :
$$\Delta = \delta^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -155+468i =(x+iy)^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, -155+468i =x^2 - y^2 + i2xy \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} -155 & = & x^2 - y^2 \\ 468 & = & 2xy \\ \end{array}\right.$$
Soit :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} -155 & = & x^2 - y^2 \\ 234 & = & xy \\ \end{array}\right.$$
De plus, on a $$|\Delta| = |\delta^2| = |\delta|^2$$. Ainsi :
$$\sqrt{(-155)^2+468^2} = x^2+y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 493 = x^2+y^2$$
Donc on a les trois équations suivantes :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 493 & = & x^2+y^2 \\ -155 & = & x^2 - y^2 \\ 234 & = & xy \\ \end{array}\right.$$
La somme, membres à membres, des deux premières équations nous donne :
$$493-155=2x^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 169 = x^2 \Longleftrightarrow \,\,\,\, x = \pm 13$$
La différence, membres à membres, des deux premières équations nous donne :
$$493-(-155)=2y^2 \,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\, 324 = y^2 \Longleftrightarrow \,\,\,\, y = \pm 18$$
Enfin, la troisième équation, à savoir $$xy = 234$$, implique que les deux nombres réels $$x$$ et $$y$$ sont de mêmes signes. Ainsi :
$${\color{blue}{\boxed{\delta = 13 + 18i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} \delta = -13 - 18i}}}$$
Comme ces deux valeurs complexes de $$\delta$$ sont opposées l'une de l'autre, le choix n'a donc pas d'importance. Choisissons donc arbitrairement la valeur $$\delta =13 + 18i$$. Donc cette équation admet deux solutions complexes distinctes. Soient $$Z_1$$ et $$Z_2$$ les deux solutions complexes de l'équation proposée en $$Z$$. Ces deux solutions s'écrivent alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} Z_1 & = & \dfrac{-3(1-2i) + \delta }{2} \\ & & \\ Z_2 & = & \dfrac{-3(1-2i) - \delta}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} Z_1 & = & \dfrac{-3+6i + 13 + 18i}{2} \\ & & \\ Z_2 & = & \dfrac{-3+6i - 13 - 18i}{2} \\ \end{array} \right. \,\,\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\,\,\, \left\lbrace \begin{array}{rcl} Z_1 & = & \dfrac{10 + 24i}{2} \\ & & \\ Z_2 & = & \dfrac{-16 - 12i}{2} \\ \end{array} \right.$$
On a alors :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} Z_1 & = & 5 + 12i \\ & & \\ Z_2 & = & -8 - 6i \\ \end{array} \right.$$
Soit $$x_1$$, $$x_2$$, $$y_1$$ et $$y_2$$ quatre nombres réels. Soient $$z_1 = x_1 + iy_1$$ et $$z_2 = x_2 + iy_2$$ les racines carrées complexes respectivement des deux nombres $$Z_1$$ et $$Z_2$$ trouvés ci-avant. On a alors les deux systèmes suivants :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 13 & = & x_1^2+y_1^2 \\ 5 & = & x_1^2 - y_1^2 \\ 6 & = & x_1 \, y_1 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \text{et} \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 10 & = & x_2^2+y_2^2 \\ -8 & = & x_2^2 - y_2^2 \\ -3 & = & x_2 \, y_2 \\ \end{array}\right.$$
Pour chacun des deux systèmes, les sommes des deux premières équations nous donnent :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 13+5 & = & 2x_1^2 \\ 10-8 & = & 2x_2^2 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \Longleftrightarrow \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 18 & = & 2x_1^2 \\ 2 & = & 2x_2^2 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \Longleftrightarrow \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 9 & = & x_1^2 \\ 1 & = & x_2^2 \\ \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} x_1 & = & \pm 3 \\ x_2 & = & \pm 1 \\ \end{array}\right.$$
Pour chacun des deux mêmes systèmes précédents, les soustractions des deux premières équations nous donnent :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} 13-5 & = & 2y_1^2 \\ 10-(-8) & = & 2y_2^2 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \Longleftrightarrow \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 8 & = & 2y_1^2 \\ 18 & = & 2y_2^2 \\ \end{array}\right. \hspace{1 cm} \Longleftrightarrow \hspace{1 cm} \left\lbrace \begin{array}{rcl} 4 & = & y_1^2 \\ 9 & = & y_2^2 \\ \end{array}\right.$$
Ainsi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} y_1 & = & \pm 2 \\ y_2 & = & \pm 3 \\ \end{array}\right.$$
Puis, les deux relations $$x_1 \, y_1 = 6$$ et $$x_2 \, y_2 = -3$$ nous apprennent que les deux nombres $$x_1$$ et $$y_1$$ sont de même signe, alors que $$x_2$$ et $$y_2$$ sont de signes opposés. On a alors :
$${\color{blue}{\boxed{z_1 = 3 + 2i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z_1 = -3 - 2i}}}$$
et :
$${\color{blue}{\boxed{z_2 = 1 - 3i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z_2 = -1 + 3i}}}$$

Finalement, les solutions recherchées pour l'équation initiale sont :
$${\color{red}{\boxed{z = 3 + 2i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z = -3 - 2i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z = 1 - 3i \hspace{0.7cm} \text{ou} \hspace{0.7cm} z = -1 + 3i}}}$$