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Calculer les expressions de la forme cos(nθ) {\mathrm{cos} \left(n\theta \right)\ } et de sin(nθ) {\mathrm{sin} \left(n\theta \right)\ } en fonction des puissances de cos(θ) {\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ } ou de sin(nθ) {\mathrm{sin} \left(n\theta \right)\ } - Exercice 3

10 min
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Question 1

Exprimer cos⁡(5x)\cos\left(5x\right) en fonction de cos⁡(x)\cos\left(x\right) et de sin⁡(x)\sin\left(x\right) .

Correction
Pour tout réel xx, on a : e5ix=cos⁡(5x)+isin⁡(5x)e^{5ix}=\cos\left(5x\right)+i\sin\left(5x\right)
    La formule de Moivre\red{\text{La formule de Moivre}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R} et pour tout entier naturel n{\color{red}{n}}, on a : cos(nx) +isin(nx) =einx=(cos(x) +isin(x) )n{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
    • Il en résulte donc que :
    e5ix=(cos(x) +isin(x) )5e^{5ix}={\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5
    Ainsi :
    cos⁡(5x)=Re(e5ix)\cos\left(5x\right)=\text{Re}\left(e^{5ix}\right)
    Nous allons commencer par développer (cos(x) +isin(x) )5{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5 .
    (cos(x) +isin(x) )5=cos⁡5(x)+5icos⁡4sin⁡(x)+10cos⁡3(x)(isin⁡(x))2+10cos⁡2(x)(isin⁡(x))3+5cos⁡(x)(isin⁡(x))4+(isin⁡(x))5{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5={\cos}^5\left(x\right)+5i{\cos}^4\sin\left(x\right)+10{\cos}^3\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^2+10{\cos}^2\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^3+5\cos\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^4+{\left(i\sin\left(x\right)\right)}^5
    (cos(x) +isin(x) )5=cos⁡5(x)+5icos⁡4(x)sin⁡(x)−10cos⁡3(x)sin⁡2(x)−10icos⁡2(x)sin⁡3(x)+5cos⁡(x)sin⁡4(x)+isin⁡5(x){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5={\cos}^5\left(x\right)+5i{\cos}^4\left(x\right)\sin\left(x\right)-10{\cos}^3\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)-10i{\cos}^2\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)+5\cos\left(x\right){\sin}^4\left(x\right)+i{\sin}^5\left(x\right)
    (cos(x) +isin(x) )5=cos⁡5(x)−10cos⁡3(x)sin⁡2(x)+5cos⁡(x)sin⁡4(x)+i(5cos⁡4(x)sin⁡(x)−10cos⁡2(x)sin⁡3(x)+sin⁡5(x)){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5={\cos}^5\left(x\right)-10{\cos}^3\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)+5\cos\left(x\right){\sin}^4\left(x\right)+i\left(5{\cos}^4\left(x\right)\sin\left(x\right)-10{\cos}^2\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)+{\sin}^5\left(x\right)\right)
    Comme : cos⁡(5x)=Re(e5ix)\cos\left(5x\right)=\text{Re}\left(e^{5ix}\right)
    Finalement :
    cos⁡(5x)=cos⁡5(x)−10cos⁡3(x)sin⁡2(x)+5cos⁡(x)sin⁡4(x)\cos\left(5x\right)={\cos}^5\left(x\right)-10{\cos}^3\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)+5\cos\left(x\right){\sin}^4\left(x\right)

    Question 2

    Exprimer sin⁡(5x)\sin\left(5x\right) en fonction de cos⁡(x)\cos\left(x\right) et de sin⁡(x)\sin\left(x\right) .

    Correction
    Pour tout réel xx, on a : e5ix=cos⁡(5x)+isin⁡(5x)e^{5ix}=\cos\left(5x\right)+i\sin\left(5x\right)
      La formule de Moivre\red{\text{La formule de Moivre}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R} et pour tout entier naturel n{\color{red}{n}}, on a : cos(nx) +isin(nx) =einx=(cos(x) +isin(x) )n{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
    • Il en résulte donc que :
    e5ix=(cos(x) +isin(x) )5e^{5ix}={\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5
    Ainsi :
    sin⁡(5x)=Im(e5ix)\sin\left(5x\right)=\text{Im}\left(e^{5ix}\right)
    Nous allons commencer par développer (cos(x) +isin(x) )5{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5 .
    (cos(x) +isin(x) )5=cos⁡5(x)+5icos⁡4sin⁡(x)+10cos⁡3(x)(isin⁡(x))2+10cos⁡2(x)(isin⁡(x))3+5cos⁡(x)(isin⁡(x))4+(isin⁡(x))5{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5={\cos}^5\left(x\right)+5i{\cos}^4\sin\left(x\right)+10{\cos}^3\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^2+10{\cos}^2\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^3+5\cos\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^4+{\left(i\sin\left(x\right)\right)}^5
    (cos(x) +isin(x) )5=cos⁡5(x)+5icos⁡4(x)sin⁡(x)−10cos⁡3(x)sin⁡2(x)−10icos⁡2(x)sin⁡3(x)+5cos⁡(x)sin⁡4(x)+isin⁡5(x){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5={\cos}^5\left(x\right)+5i{\cos}^4\left(x\right)\sin\left(x\right)-10{\cos}^3\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)-10i{\cos}^2\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)+5\cos\left(x\right){\sin}^4\left(x\right)+i{\sin}^5\left(x\right)
    (cos(x) +isin(x) )5=cos⁡5(x)−10cos⁡3(x)sin⁡2(x)+5cos⁡(x)sin⁡4(x)+i(5cos⁡4(x)sin⁡(x)−10cos⁡2(x)sin⁡3(x)+sin⁡5(x)){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^5={\cos}^5\left(x\right)-10{\cos}^3\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)+5\cos\left(x\right){\sin}^4\left(x\right)+i\left(5{\cos}^4\left(x\right)\sin\left(x\right)-10{\cos}^2\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)+{\sin}^5\left(x\right)\right)
    Comme : sin⁡(5x)=Im(e5ix)\sin\left(5x\right)=\text{Im}\left(e^{5ix}\right)
    Finalement :
    sin⁡(5x)=5cos⁡4(x)sin⁡(x)−10cos⁡2(x)sin⁡3(x)+sin⁡5(x)\sin\left(5x\right)=5{\cos}^4\left(x\right)\sin\left(x\right)-10{\cos}^2\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)+{\sin}^5\left(x\right)