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Calculer les expressions de la forme cos(nθ) {\mathrm{cos} \left(n\theta \right)\ } et de sin(nθ) {\mathrm{sin} \left(n\theta \right)\ } en fonction des puissances de cos(θ) {\mathrm{cos} \left(\theta \right)\ } ou de sin(nθ) {\mathrm{sin} \left(n\theta \right)\ } - Exercice 2

10 min
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Question 1

Exprimer cos⁡(4x)\cos\left(4x\right) en fonction de cos⁡(x)\cos\left(x\right) et de sin⁡(x)\sin\left(x\right) .

Correction
Pour tout réel xx, on a : e4ix=cos⁡(4x)+isin⁡(4x)e^{4ix}=\cos\left(4x\right)+i\sin\left(4x\right)
    La formule de Moivre\red{\text{La formule de Moivre}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R} et pour tout entier naturel n{\color{red}{n}}, on a : cos(nx) +isin(nx) =einx=(cos(x) +isin(x) )n{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
    • Il en résulte donc que :
    e4ix=(cos(x) +isin(x) )4e^{4ix}={\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4
    Ainsi :
    cos⁡(4x)=Re(e4ix)\cos\left(4x\right)=\text{Re}\left(e^{4ix}\right)
    Nous allons commencer par développer (cos(x) +isin(x) )4{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4 .
    (cos(x) +isin(x) )4=cos⁡4(x)+4icos⁡3(x)sin⁡(x)+6cos⁡2(x)(isin⁡(x))2+4cos⁡(x)(isin⁡(x))3+(isin⁡(x))4{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)+4i{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)+6{\cos}^2\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^2+4\cos\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^3+{\left(i\sin\left(x\right)\right)}^4
    (cos(x) +isin(x) )4=cos⁡4(x)+4icos⁡3(x)sin⁡(x)−6cos⁡2(x)sin⁡2(x)−4icos⁡(x)sin⁡3(x)+sin⁡4(x){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)+4i{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)-4i\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right)
    (cos(x) +isin(x) )4=cos⁡4(x)−6cos⁡2(x)sin⁡2(x)+sin⁡4(x)+i(4cos⁡3(x)sin⁡(x)−4cos⁡(x)sin⁡3(x)){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right)+i\left(4{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-4\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)\right)
    Comme : cos⁡(4x)=Re(e4ix)\cos\left(4x\right)=\text{Re}\left(e^{4ix}\right)
    Finalement :
    cos⁡(4x)=cos⁡4(x)−6cos⁡2(x)sin⁡2(x)+sin⁡4(x))\cos\left(4x\right)={\cos}^4\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right))
    Question 2

    Exprimer sin⁡(4x)\sin\left(4x\right) en fonction de cos⁡(x)\cos\left(x\right) et de sin⁡(x)\sin\left(x\right) .

    Correction
    Pour tout réel xx, on a : e4ix=cos⁡(4x)+isin⁡(4x)e^{4ix}=\cos\left(4x\right)+i\sin\left(4x\right)
      La formule de Moivre\red{\text{La formule de Moivre}}
  • Pour tout x∈R{\color{blue}{x}}\in \mathbb{R} et pour tout entier naturel n{\color{red}{n}}, on a : cos(nx) +isin(nx) =einx=(cos(x) +isin(x) )n{\mathrm{cos} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}\right)\ }=e^{i{\color{red}{n}}{\color{blue}{x}}}={\left({\mathrm{cos} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left({\color{blue}{x}}\right)\ }\right)}^{\color{red}{n}}
    • Il en résulte donc que :
    e4ix=(cos(x) +isin(x) )4e^{4ix}={\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4
    Ainsi :
    sin⁡(4x)=Im(e4ix)\sin\left(4x\right)=\text{Im}\left(e^{4ix}\right)
    Nous allons commencer par développer (cos(x) +isin(x) )4{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4 .
    (cos(x) +isin(x) )4=cos⁡4(x)+4icos⁡3(x)sin⁡(x)+6cos⁡2(x)(isin⁡(x))2+4cos⁡(x)(isin⁡(x))3+(isin⁡(x))4{\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)+4i{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)+6{\cos}^2\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^2+4\cos\left(x\right){\left(i\sin\left(x\right)\right)}^3+{\left(i\sin\left(x\right)\right)}^4
    (cos(x) +isin(x) )4=cos⁡4(x)+4icos⁡3(x)sin⁡(x)−6cos⁡2(x)sin⁡2(x)−4icos⁡(x)sin⁡3(x)+sin⁡4(x){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)+4i{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)-4i\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right)
    (cos(x) +isin(x) )4=cos⁡4(x)−6cos⁡2(x)sin⁡2(x)+sin⁡4(x)+i(4cos⁡3(x)sin⁡(x)−4cos⁡(x)sin⁡3(x)){\left({\mathrm{cos} \left(x\right)\ }+i{\mathrm{sin} \left(x\right)\ }\right)}^4={\cos}^4\left(x\right)-6{\cos}^2\left(x\right){\sin}^2\left(x\right)+{\sin}^4\left(x\right)+i\left(4{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-4\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)\right)
    Comme : sin⁡(4x)=Im(e4ix)\sin\left(4x\right)=\text{Im}\left(e^{4ix}\right)
    Finalement :
    sin⁡(4x)=4cos⁡3(x)sin⁡(x)−4cos⁡(x)sin⁡3(x)\sin\left(4x\right)=4{\cos}^3\left(x\right)\sin\left(x\right)-4\cos\left(x\right){\sin}^3\left(x\right)