Un peu de théorie (1) - Exercice 1

On considère $$x_1$$ et $$x_2$$ deux élément de l'ensemble $$E$$.
Pour démontrer l'injectivité de $$f$$, on va supposer que $$f(x_1) = f(x_2)$$ et nous souhaitons montrer que $$x_1 = x_2$$. Dans ce raisonnement nous devrons faire usage du fait que l'hypothèse de la question, à savoir que $$g \circ f$$ est injective.
On a :
$$\big( f(x_1) = f(x_2) \big) \Longrightarrow \bigg( g\big( f(x_1) \big) = g\big( f(x_2) \big) \bigg) \Longrightarrow \bigg( \big(g \circ f \big)(x_1) = \big(g \circ f \big)(x_2) \bigg)$$
Cependant, l'hypothèse sous-jacente à cette question est que l'application $$g \circ f$$ est injective. ce qui implique que :
$$\bigg( \big(g \circ f \big)(x_1) = \big(g \circ f \big)(x_2) \bigg) \Longrightarrow \big( x_1 = x_2 \big)$$
Donc, on a donc montré que :
$$\big( f(x_1) = f(x_2) \big) \Longrightarrow \big( x_1 = x_2 \big)$$
Et de fait, l'application $$f$$ est injective.

Soit $$z$$ un élément de l'ensemble $$G$$.
On souhaite montré que $$g$$ est surjective, c'est-à-dire que pour tout élément $$z \in G$$ il est toujours possible de trouver, par l'application $$g$$, un antécédent $$y \in F$$. Au cours de ce raisonnement, nous devrons faire usage de l'hypothèse sous-jacente à cette question, à savoir que l'application composée $$g \circ f$$ est surjective. Cette hypothèse sous-jacente implique qu'il est toujours possible de déterminer un antécédent $$x \in E$$ à l'image $$z \in G$$ telle que $$z = g\big( f(x) \big) = \big( g \circ f \big)(x)$$.
On a $$z \in G$$. Comme $$g \circ f$$ est surjective alors il existe toujours un antécédent $$x \in E$$ à l'image $$z \in G$$ telle que $$z = \big( g \circ f \big)(x) = g\big( f(x) \big)$$. On pose alors $$y = f(x) \in F$$. On a alors :
$$\forall z \in G, \,\, \exist y \in F, \,\, z = g(y)$$
Et de fait, $$g$$ est surjective.

Soit $$y_1$$ et $$y_2$$ deux éléments de l'ensemble $$F$$.
On cherche à montrer l'injectivité de $$g$$. Donc, on va supposer que $$g(y_1) = g(y_2)$$, et nous chercherons à montrer que $$y_1 = y_2$$. Pour réaliser cela nous devrons invoquer que $$g \circ f$$ est injective et que $$f$$ est surjective.
On commence donc par supposer que $$g(y_1) = g(y_2)$$. or, $$f$$ est surjective, donc il existe toujours deux éléments $$x_1$$ et $$x_2$$ deux éléments de l'ensemble $$E$$ tels que $$y_1 = f(x_1)$$ et $$y_2 = f(x_2)$$. Donc, on a alors l'égalité suivante :
$$\big( g(y_1) = g(y_2) \big) \Longleftrightarrow \big( g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \big) \Longleftrightarrow \bigg( \big( g \circ f \big)(x_1) = \big( g \circ f \big)(x_2) \bigg)$$
Mais par hypothèse, on sait que l'application $$g \circ f$$ est une application composée injective. Cela se traduit par :
$$\bigg( \big( g \circ f \big)(x_1) = \big( g \circ f \big)(x_2) \bigg) \Longrightarrow ( x_1 = x_2)$$
Puis, par application de $$f$$, on obtient :
$$\big( f(x_1) = f(x_2) \big) \Longrightarrow ( y_1 = y_2 )$$
Ainsi, on a donc démontré que :
$$\forall(y_1\,;\,y_2) \in F^2, \,\, \big( g(y_1) = g(y_2) \big) \Longrightarrow ( y_1 = y_2 )$$
Et de fait l'application $$g$$ est injective.

Soit $$y$$ un élément de l'ensemble $$F$$.
On souhaite démontrer la surjectivité de $$f$$ c'est-à-dire que tout élément image $$y \in F$$ il y a toujours au moins un antécédent $$x \in E$$ de possible par l'application $$f$$. Pour ceci nous devrons faire usage des deux informations suivantes : $$g \circ f$$ est surjective et $$g$$ est injective.
On a choisit un élément quelconque $$y$$ de l'ensemble $$F$$, ainsi $$g(y) \in G$$. De plus, nous avons supposé que $$g \circ f$$ est surjective, ce qui signifie qu'il existe toujours un élément antécédent $$x \in E$$ tel que $$\big( g \circ f \big)(x) = g\big(f(x)\big) = g(y)$$. De plus, par hypothèse, on a supposé que l'application $$g$$ est injective. L'injectivité de $$g$$ nous permet d'affirmer que :
$$\forall(y_1\,;\,y_2) \in F^2, \,\, \big( g(y_1) = g(y_2) \big) \Longrightarrow ( y_1 = y_2 )$$
Donc, en posant $$y_2 = f(x)$$ et $$y_2 = y$$, on obtient :
$$\bigg( g\big(f(x)\big) = g(y) \bigg) \Longrightarrow \bigg(f(x) = y \bigg)$$.
Autrement dit, nous avons montré que pour chaque élément $$y$$ de l'ensemble $$F$$, il existe un antécédent $$x \in E$$ par l'application $$f$$, à savoir $$y = f(x)$$.
Finalement, l'application $$f$$ est surjective.