Pour continuer à se familiariser : Injective, surjective et bijective - Exercice 1

Si nous choisissons $$E = F = \mathbb{R}$$ alors l'application $$f$$ n'est pas injective car une image peut conduire à deux antécédents distincts.
Par exemple, l'image $$y = x^2 = 4$$ va conduire à $$x = 2$$ ou $$x = -2$$.

Si nous choisissons $$E = F = \mathbb{R}$$ alors l'application $$f$$ n'est pas surjective car des images peuvent ne pas avoir d'antécédent par $$f$$.
Par exemple, l'image $$y = x^2 = -4$$ va conduire à aucun antécédent possible dans $$\mathbb{R}$$.

Si nous choisissons $$E = \mathbb{R}^+$$ (ou $$E = \mathbb{R}^-$$) et $$F = \mathbb{R}$$ alors l'application $$f$$ est bien injective et n'est pas surjective.
En effet, sur $$E = \mathbb{R}^+$$, deux antécédents différents conduisent à des images différentes.
Puis, l'image $$y = x^2 = -4$$ va conduire à aucun antécédent possible dans $$\mathbb{R}$$.

Si nous choisissons $$E = \mathbb{R}$$ et $$F = \mathbb{R}^+$$ alors l'application $$f$$ est bien surjective et n'est pas injective.
Par exemple, l'image $$y = x^2 = 4$$ va conduire à $$x = 2$$ ou $$x = -2$$ donc $$f$$ est non injective.
Puis, si $$y \in F = \mathbb{R}^+$$ alors il y toujours au moins un antécédent de possible par $$f$$ et de fait $$f$$ est bien surjective.

Il y a deux possibilité pour que l'application $$f$$ soit bijective :
$$\bullet \,\,$$ on peut choisir $$E = F = \mathbb{R}^+$$ ;
$$\bullet \bullet \,\,$$ on peut également choisir $$E = \mathbb{R}^-$$ et $$F = \mathbb{R}^+$$.
En effet, avec ces deux choix, à chaque image $$y \in F = \mathbb{R}^+$$ il y toujours un unique antécédent de possible par $$f$$ et de fait $$f$$ est bien bijective.