Injective / Surjective : Exercice $$9$$ Composition d'application - Exercice 1

soit $$n_1$$ et $$n_2$$ deux nombres entiers naturels.
On a :
$$\big( n_1 \neq n_2 \big) \Longrightarrow \big( 2n_1 \neq 2n_2 \big) \Longrightarrow \big( f(n_1) \neq f(n_2) \big)$$
Donc $$f$$ est injective.

Selon la définition de l'application $$f$$, les images $$y$$ appartiennent à $$\mathbb{N}$$. De plus les antécédents associés $$n$$ doivent également appartenir à $$\mathbb{N}$$. Or l'image $$y = 1 \in \mathbb{N}$$ n'admet pas d'antécédent appartenant à $$\mathbb{N}$$.
En conclusion certaines image, comme $$y = 1$$ n'admettent pas d'antécédent par $$f$$.
Finalement $$f$$ n'est pas surjective.

Selon la définition de $$g$$, on constate que les antécédents $$n_1 = 2$$ et $$n_2 = 3$$ conduisent à la même image à savoir $$g(n_1 = 2) = g(n_2 = 2) = 1$$. Ceci constitue un contre exemple à la définition de l'injection. Donc $$g$$ est une application non injective.

Selon la définition de l'application $$g$$, les images possible doivent appartenir à $$\mathbb{N}$$. Or, si l'antécédent $$n$$ est pair alors son image est la moitié.
Ainsi, posons $$n = 2p$$ avec $$p \in \mathbb{N}$$. Dans ce cas on a $$g (n = 2p) = p \in \mathbb{N}$$.
Donc, pour l'application $$g$$, quelque soit l'image $$y = p \in \mathbb{N}$$ il est possible de trouver un antécédent par $$g$$, à savoir le double $$2p \in \mathbb{N}$$.
Finalement l'application $$g$$ est surjective.
Et $$g$$ n'est pas une bijection.

On constate que l'image par $$f$$ d'un antécédent $$n \in \mathbb{N}$$ est nécessairement paire. De fait $$f(n)$$ à pour image par $$g$$ la moitié, à savoir $$n \in \mathbb{N}$$.
Donc si $$n \in \mathbb{N}$$ alors $$g\big( f(n) \big) = n \in \mathbb{N}$$. Donc l'application $$g \circ f$$ se comporte comme l'identité $$\mathrm{Id}_\mathbb{N}$$. On a alors :
$$g \circ f : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{N} \\ n & \longmapsto & \big( g \circ f \big)(n) = g\big( f(n) \big) = n \\ \end{array} \right.$$
On peut donc en conclure que l'application $$g \circ f$$ est bijective.
De fait, l'application $$g \circ f$$ est injective.

D'après la question précédente, on sait que l'application $$g \circ f$$ est bijective.
De fait, l'application $$g \circ f$$ est surjective.

Soit $$n \in \mathbb{N}$$, donc $$n$$ est soit par ou impair. De fait on a :
$$\bullet \,\, g(n) = \dfrac{n}{2} \in \mathbb{N}$$ si $$n$$ est pair ;
$$\bullet \bullet \,\, g(n) = \dfrac{n-1}{2} \in \mathbb{N}$$ si $$n$$ est impair.
Donc, l'image par $$f$$ de $$g(n)$$ est donc le double de $$g(n)$$, à savoir $$2g(n)$$ :
$$\bullet \,\, f\big(g(n)\big) = 2 \times \dfrac{n}{2} = n \in \mathbb{N}$$ si $$n$$ est pair ;
$$\bullet \bullet \,\, f\big(g(n)\big) = 2 \times \dfrac{n-1}{2} = n-1\in \mathbb{N}$$ si $$n$$ est impair.
Donc l'application $$f \circ g$$ se définit comme :
$$f \circ g : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{N} \\ n & \longmapsto & \big( f \circ g \big)(n) = f\big(g(n)\big) = \left\lbrace \begin{array}{rcl} n & \mathrm{si} & n \,\, \mathrm{est \,\, pair} \\ & & \\ n-1 & \mathrm{si} & n \,\, \mathrm{est \,\, impair} \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$
Selon la définition de $$f \circ g$$, on constate que les antécédents $$n_1 = 2$$ et $$n_2 = 3$$ conduisent à la même image à savoir $$\big( f \circ g \big)(n_1 = 2) = \big( f \circ g \big)(n_2 = 2) = 2$$. Ceci constitue un contre exemple à la définition de l'injection. Donc $$f \circ g$$ est une application non injective.

L'application $$f \circ g$$ se définit comme :
$$f \circ g : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathbb{N} & \longrightarrow & \mathbb{N} \\ n & \longmapsto & \big( f \circ g \big)(n) = f\big(g(n)\big) = \left\lbrace \begin{array}{rcl} n & \mathrm{si} & n \,\, \mathrm{est \,\, pair} \\ & & \\ n-1 & \mathrm{si} & n \,\, \mathrm{est \,\, impair} \end{array} \right. \\ \end{array} \right.$$
Autrement dit, l'image $$\big( f \circ g \big)(n) = f\big(g(n)\big)$$ est toujours paire. De plus, selon la définition de l'application $$f \circ g$$ les images $$y$$ doivent toutes appartenir à $$\mathbb{N}$$. Autrement dit toutes les images $$y$$ impaires $${\color{red}{\bf{n'admettent \,\, pas \,\, d'antécédent}}}$$ par l'application $$f \circ g$$.
Finalement, l'application $$f \circ g$$ n'est pas surjective.