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Injective / Surjective : Exercice 66 utilisation des nombres complexes - Exercice 1

30 min
50
On monte la difficulté !
Soit ii le nombre complexe tel que i2=−1i^2 = -1. Soit zz un nombre complexe qui s'écrit z=Reˊ(z)+i ℑm(z)z = \R\mathrm{é}(z) + i \, \Im \mathrm{m}(z). Avec Reˊ(z)∈R\R\mathrm{é}(z) \in \mathbb{R} et ℑm(z)∈R\Im \mathrm{m}(z) \in \mathbb{R}.
On considère l'application f:{C∖{−1}⟶Cz⟼y=f(z)=z1+zf : \left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathbb{C} \setminus \{-1\} & \longrightarrow & \mathbb{C} \\ z & \longmapsto & y = f(z) = \dfrac{z}{1+z}\\ \end{array} \right..
Question 1

Etudier l'injectivité de ff.

Correction
Soient z1z_1 et z2z_2 deux nombres complexes appartenant à l'ensemble C∖{−1}\mathbb{C} \setminus \{-1\}.
On a :
(z1≠z2)⟹(z1+z1z2≠z2+z1z2)⟹(z1(1+z2)≠z2(1+z1))⟹(z11+z1≠z21+z2)⟹(f(z1)≠f(z2))\big( z_1 \neq z_2 \big) \Longrightarrow \big( z_1 + z_1 z_2 \neq z_2 + z_1 z_2 \big) \Longrightarrow \big( z_1 (1 + z_2) \neq z_2 (1 + z_1) \big) \Longrightarrow \left( \dfrac{z_1}{1 + z_1} \neq \dfrac{z_2}{1 + z_2} \right) \Longrightarrow \big( f(z_1) \neq f(z_2) \big)
Donc l'application ff est injective.
Question 2

Etudier la surjectivité de ff.

Correction
On considère l'image y=1∈Cy = 1 \in \mathbb{C}. Autrement dit f(z)=1∈Cf(z) = 1 \in \mathbb{C}. Ainsi :
z1+z=1\dfrac{z}{1+z} = 1
Ce qui nous donne :
z=1+zz = 1 + z
Soit encore :
0=10 = 1
Ce qui est clairement faux. Donc l'image y=1∈Cy = 1 \in \mathbb{C} n 'a pas d'antécédent par l'application ff. Donc, cette dernière n'est pas surjective.
De fait, l'application ff n'est pas bijective.