Injective / Surjective : Exercice $$5$$ - Exercice 1

Soit $$x$$ un nombre réel. On sait que :
$$E(x) \leqslant x < E(x)+1$$
Donc :
$$E(x) - E(x) \leqslant x - E(x) < E(x) + 1 - E(x)$$
Soit :
$$0 \leqslant d(x) < 1$$
Donc si $$x \in \mathbb{R}$$ alors $$d(x) \in [0 \,;\,1[$$.
Soit $$N \in \mathbb{Z}$$, dans ce cas $$N + 1 \in \mathbb{Z}$$.
On constate alors que $$d(N) = d(N+1) = 0$$.
On a donc démontrer que :
$$\forall N \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{R}, \,\, \big( d(N) = d(N+1) \big) \Longrightarrow \big( N \neq N+1 \big)$$
Donc $$d$$ n'est pas injective.

Soit $$y = d(x) \in [0 \,;\,1[$$. Donc $$y = \big( x - E(x) \big) \in [0 \,;\,1[$$.
On en déduit immédiatement que $$E(y) = 0$$.
Donc on a $$d(y) = y - E(y)$$, ce qui nous conduit à $$d(y) = y$$.
Il est donc toujours possible d'obtenir (au moins) un antécédent à l'image $$y \in [0 \,;\,1[$$.
C'est pourquoi l'application $$d$$ est surjective.
C'est bien ce que l'on constate visuellement sur le graphe de l'application $$d$$.