Injective / Surjective : Exercice $$1$$ - Exercice 1

L'application $$f$$ est continue sur $$\mathbb{R}$$ et y est strictement croissante. En vertu du théorème de la bijection, on peut affirmer que $$f$$ est une bijection. Et de fait $$f$$ est injective.
On peut également procéder à partir de l'assertion définition d'une bijection :
$$\forall y \in \mathbb{R}, \,\, \exist \,! \,x \in \mathbb{R}, \,\, y = \sinh(x)$$
Donc, soit $$y \in \mathbb{R}$$. On a alors :
$$y = \sinh(x) \Longleftrightarrow x = \mathrm{argsinh}(y)$$
Cette valeur de l'antécédent $$x$$, associée à l'image réelle $$y$$, est unique.
L'application argument sinus hyperbolique, notée $$\mathrm{argsinh}$$ (parfois égalent notée $$\mathrm{asinh}$$) est l'application réciproque de $$f$$. Sa représentation graphique (en rouge) est la suivante :
D'ailleurs, on peut également montrer que $$\forall y \in \mathbb{R}, \,\, \mathrm{argsinh}(y) = \ln\big( y + \sqrt{1+y^2} \big)$$.

L'application $$f$$ est continue sur $$\mathbb{R}$$ et $$y$$ est strictement croissante. En vertu du théorème de la bijection, on peut affirmer que $$f$$ est une bijection. Et de fait $$f$$ est surjective.