Toujours et encore dans l'autre sens !! - Exercice 1

Dans l'intervalle $$\left[\sqrt{2} \, ; \, \sqrt{3} \right]$$ il existe au moins deux nombres irrationnels, qui sont (par exemples), les bornes de cet intervalle !
Autrement dit, l'intersection entre $$\mathbb{Q}$$ et l'intervalle $$\left[\sqrt{2} \, ; \, \sqrt{3} \right]$$ n'est pas vide : $$\mathbb{Q} \cap \left[\sqrt{2} \, ; \, \sqrt{3} \right] \neq \emptyset$$.
On a donc la traduction suivante :
$$\exist x \in \mathbb{Q}, \, \sqrt{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{3}$$

Commençons par rappelons qu'en mathématique, "plusieurs" signifie "au moins deux".
Donc, une première possibilité est :
$$\exist (x,y) \in \mathbb{Q}^2, \, \big((x \neq y) \wedge (\sqrt{2} \leqslant x \leqslant \sqrt{3}) \wedge (\sqrt{2} \leqslant y \leqslant \sqrt{3}) \big)$$
Une autre possibilité est :
$$\exist (x,y) \in \mathbb{Q}^2, \, \sqrt{2} \leqslant x < y \leqslant \sqrt{3}$$

On a :
$$\exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, \neg \bigg((x < y) \Longrightarrow \big( f(x) \geqslant f(y) \big) \bigg)$$
Mais on sait que pour deux assertions $$P$$ et $$Q$$ on a $$\neg (P \Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg Q)$$. Ainsi, on peut donc écrire que :
$$\exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, (x < y) \wedge \bigg(\neg\big( f(x) \geqslant f(y) \big) \bigg)$$
A savoir :
$$\exist (x,y) \in \mathbb{R}^2, \, (x < y) \wedge \big( f(x) < f(y) \big)$$