Raisonnement par récurrence - Exercice 1

Nous allons réaliser cette démonstration par récurrence.
Notons par $$P(n)$$ la propriété associée à la formule suivante :
$$P(n) : 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$$
$${\color{green}{\bf{\blacktriangleright \,Etape \,\, 1 : L'initialisation}}}$$
Soit $$n=1$$, vérifions si la propriété $$P(1)$$ est bien vérifiée. On a :
$$P(1) : 1^2 = \dfrac{1}{6} \times 1 \times (1 + 1) \times (2 \times 1 + 1)$$
Soit :
$$P(1) : 1 = \dfrac{1}{6} \times 1 \times 2 \times 3$$
Ainsi :
$$P(1) : 1 = \dfrac{1}{6} \times 6$$
Soit encore :
$$P(1) : 1 = 1$$
Ce qui est indéniablement vrai. Donc la propriété $$P(1)$$ est bien vérifiée.
$${\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 2 : La \,\, transmission}}}$$
Dans cette deuxième étape de la démonstration, nous allons supposer que la propriété $$P(n)$$ est vraie, et sous cette vérité, démontrer que la propriété $$P(n+1)$$ est également vraie. Autrement dit, nous allons démontrer que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
Ainsi, supposons que nous ayons bien la relation $$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$$. Dans ce cas, déterminons l'expression de $$P(n+1)$$. Comme la propriété $$P(n)$$ est supposée vraie, on a alors :
$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \dfrac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + (n+1)^2$$
D'où :
$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \dfrac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + \dfrac{1}{6}(n+1)6(n+1)$$
Soit :
$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \dfrac{1}{6} (n + 1)\big( n(2n + 1) + 6(n+1) \big)$$
En développant la seconde paranthèse :
$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \dfrac{1}{6} (n + 1)\big( 2n^2 + 7n + 6 \big)$$
Le trinôme $$2n^2 + 7n + 6$$ admets deux racines réelles distinctes qui sont $$-2$$ et $$-\dfrac{3}{2}$$. Donc, on en déduit la factorisation suivante de ce trinôme : $$2n^2 + 7n + 6 = 2\left(n - \left(-\dfrac{3}{2}\right)\right)\big(n-(-2)\big)= 2\left(n+\dfrac{3}{2}\right)(n+2) = (2n+3)(n+2)$$. Donc :
$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \dfrac{1}{6} (n + 1)(2n+3)(n+2)$$
Ceci peut également s'écrire sous la forme suivante :
$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + (n+1)^2 = \dfrac{1}{6} (n + 1)(2n+2+1)(n+1+1)$$
Soit encore :
$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 + ({\color{blue}{n+1}})^2 = \dfrac{1}{6} ({\color{blue}{n+1}})\big(2({\color{blue}{n+1}})+1\big) \big(({\color{blue}{n+1}})+1\big)$$
On constate alors que la propriété $$P(n+1)$$ est donc bien vérifiée. On a donc bien démontré que $$P(n) \Longrightarrow P(n+1)$$.
$${\color{red}{\bf{\blacktriangleright \blacktriangleright \blacktriangleright \,Etape \,\, 3 : La \,\, conclusion}}}$$
En vertu des axiomes de la récurrence, la propriété $$P(n) : 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$$ est vraie pour tout entier naturel $$n \neq 0$$. $${\color{red}{\blacksquare}}$$