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Pour bien réfléchir : Négation & Contraire - Exercice 1

30 min
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Cet exercice illustre la différence entre la négation et le contraire.
Question 1
On note par ξ\xi soit le quantificateur existentiel ∃\exist ou universel ∀\forall.
On considère l'assertion QQ suivante : ξx∈D, P(x)\xi x \in \mathcal{D}, \, P(x). La notation P(x)P(x) désigne une proposition qui dépend de xx.
On note l'assertion contraire par Q^\widehat{Q}, et sa définition est : ξx∈D, ¬P(x)\xi x \in \mathcal{D}, \, \neg P(x).
On constate que Q^^⟺Q\widehat{\widehat{Q}} \Longleftrightarrow Q.
On pose, dans cet exercice, QQ : tous les hommes sont mortels.

Traduire l'assertion QQ en langage de logique mathématique.

Correction
On a :
QQ : tous les hommes sont mortels.
Donc, mathématiquement, on a :
Q :∀x∈V, P(x)Q \, : \forall x \in \mathcal{V}, \, P(x)
avec :
∙  x\bullet \,\, x est un homme ;
∙∙  V\bullet \bullet \,\, \mathcal{V} est l'ensemble des hommes vivant ;
∙∙∙  P(x)\bullet \bullet \bullet \,\, P(x) représente un homme mortel.
Ainsi, on a bien l'équivalence :
Q : ∀x∈V, P(x)⟺tous  les  hommes  sont  mortels{\color{red}{\boxed{Q \, :\, \forall x \in \mathcal{V}, \, P(x) \Longleftrightarrow \bf{ tous \,\, les \,\, hommes \,\, sont \,\, mortels } }}}
Question 2

Donner la signification de Q^\widehat{Q}.

Correction
La signification de Q^\widehat{Q} est :
Q^ : ∀x∈V, ¬P(x)⟺tous  les  hommes  sont  immortels{\color{red}{\boxed{\widehat{Q} \, :\, \forall x \in \mathcal{V}, \, \neg P(x) \Longleftrightarrow \bf{ tous \,\, les \,\, hommes \,\, sont \,\, immortels } }}}
Question 3

Donner la signification de ¬Q\neg Q.

Correction
La signification de ¬Q\neg Q est :
¬Q : ∃x∈V, ¬P(x)⟺il  existe  des  hommes  qui  sont  immortels{\color{red}{\boxed{\neg Q \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, \neg P(x) \Longleftrightarrow \bf{ il \,\, existe \,\, des \,\, hommes \,\, qui \,\, sont \,\, immortels } }}}
Question 4

Donner la signification de ¬Q^\neg \widehat{Q}.

Correction
On a :
¬Q^ : ¬(∀x∈V, ¬P(x))\neg \widehat{Q} \, :\, \neg \big( \forall x \in \mathcal{V}, \, \neg P(x) \big)
Soit :
¬Q^ : ∃x∈V, ¬(¬P(x))\neg \widehat{Q} \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, \neg (\neg P(x))
Or, on sait que ¬(¬P(x))⟺P(x)\neg (\neg P(x)) \Longleftrightarrow P(x). Donc :
¬Q^ : ∃x∈V, P(x)\neg \widehat{Q} \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, P(x)
Ainsi, la signification de ¬Q^\neg \widehat{Q} est :
¬Q^ : ∃x∈V, P(x)⟺il  existe  des  hommes  qui  sont  mortels{\color{red}{\boxed{\neg \widehat{Q} \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, P(x) \Longleftrightarrow \bf{ il \,\, existe \,\, des \,\, hommes \,\, qui \,\, sont \,\, mortels } }}}
Question 5

Quel lien y-t-il entre ¬Q^\neg \widehat{Q} et ¬Q\neg Q ?

Correction
On constate que :
∙  ¬Q : ∃x∈V, ¬P(x)\bullet \,\, \neg Q \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, \neg P(x)
∙∙  ¬Q^ : ∃x∈V, P(x)\bullet \bullet \,\, \neg \widehat{Q} \, :\, \exist x \in \mathcal{V}, \, P(x)
Ainsi, on constate que :
¬Q^⟺¬Q^\widehat{\neg Q} \Longleftrightarrow \neg \widehat{Q}
Autrement écrit :
¬Q⟺¬Q^^\neg {Q} \Longleftrightarrow \widehat{\neg \widehat{Q}}
Finalement :
¬Q  et  ¬Q^  sont  des  assertions  contraires  l′une  de  l′autre{\color{red}{\boxed{\neg Q \,\, {\bf{et}} \,\, \neg \widehat{Q} \,\, \bf{ sont \,\, des \,\, assertions \,\, contraires \,\, l'une \,\, de \,\, l'autre } }}}
▶  Remarque:le  carreˊ  d′Aristote{\color{blue}{\bf{\blacktriangleright \,\, Remarque : le \,\, carré \,\, d'Aristote}}}
On appelle le carré d'Aristote  (384−322)  avant  J.CAristote \,\, (384-322) \,\, avant \,\, J.C la figure suivante :
Q⟷Q^↕↕¬Q⟷¬Q^\begin{array}{ccc} Q & \longleftrightarrow & \widehat{Q} \\ & & \\ \bigg\updownarrow & & \bigg\updownarrow \\ & & \\ \neg Q & \longleftrightarrow & \neg \widehat{Q} \\ \end{array}
Dans le sens horizontal c'est les contraires, et dans le sens vertical c'est les négations.