Nombre de parties d'un ensemble produit cartésien fini - Exercice 1

Par exemple, réfléchissons sur l'ensemble $$\mathcal{E} = \underbrace{E \times E}_{2 \,\, fois} = E^2$$, donc le cas $$p=2$$
A chacun des $$n$$ éléments constitutifs du premier $$E$$ on peut donc associer les $$n$$ mêmes éléments du second ensemble $$E$$. Donc, il y a donc $$n^2$$ couples différents du type $$(n_1 \in E \,;\, n_2 \in E)$$.
Ainsi, on constate que pour $$p$$ quelconque, c'est-à-dire avec $$\mathcal{E} = \underbrace{E \times E \times \cdots \times E}_{p \,\, fois} = E^p$$, on peut construite $$n^p$$ $$p$$-uplets différents du type $$(n_1 \in E \,;\, n_2 \in E \,;\, \cdots \,;\, n_p \in E)$$.
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{ \mathrm{card}(\mathcal{E}) = \mathrm{card}(E^p) = n^p}}}$$

On considère l'ensemble dénombrable $$\mathcal{E} = \underbrace{E \times E \times \cdots \times E}_{p \,\, fois} = E^p$$ tel que $$\mathrm{card}(E) = n$$.
D'après l'exercice précédent, on sait que $$\mathrm{card}(\mathscr{P}(E)) = 2^n$$. Donc, on en déduit immédiatement que :
$$\mathrm{card}(\mathscr{P}(\mathcal{E})) = \mathrm{card}(\mathscr{P}(E^p)) = \underbrace{\mathrm{card}(\mathscr{P}(E)) \times \mathrm{card}(\mathscr{P}(E)) \times \cdots \times \mathrm{card}(\mathscr{P}(E))}_{p \,\, fois} = \big( \mathrm{card}(\mathscr{P}(E)) \big)^p = \big( 2^n \big)^p$$
Finalement, on trouve que :
$${\color{red}{\boxed{ \mathrm{card}(\mathscr{P}(\mathcal{E})) = \mathrm{card}(\mathscr{P}(E^p)) = 2^{np}}}}$$