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La négation - Exercice 1

20 min

Il est important de savoir déterminer la négation d'une proposition assertionnelle.
On considère les trois propositions

P

Q

R

. Donner la négation des cinq assertions suivantes :

Question 1

$P \wedge \neg Q$

Correction

On a :

\neg (P \wedge \neg Q) \Longleftrightarrow (\neg P \vee \neg(\neg Q))

Or :

\neg(\neg Q) \Longleftrightarrow Q

Finalement :

{\color{red}{\boxed{ \neg (P \wedge \neg Q) \Longleftrightarrow (\neg P \vee Q) }}}

Question 2

$P \vee (Q \wedge R)$

Correction

On a :

\neg (P \vee (Q \wedge R)) \Longleftrightarrow (\neg P \wedge \neg(Q \wedge R))

Or, on a :

(\neg(Q \wedge R)) \Longleftrightarrow (\neg Q \vee \neg R)

Finalement, on trouve que :

{\color{red}{\boxed{ \neg (P \vee (Q \wedge R)) \Longleftrightarrow \big( \neg P \wedge (\neg Q \vee \neg R) \big) }}}

Question 3

$P \Longleftrightarrow Q$

Correction

On a :

(P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( (P \Longrightarrow Q) \wedge (Q \Longrightarrow P) \big)

Ce qui s'écrit également :

(P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( (\neg P \vee Q) \wedge (\neg Q \vee P) \big)

On en déduit alors que :

\neg (P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \neg\big( (\neg P \vee Q) \wedge (\neg Q \vee P) \big)

Soit :

\neg (P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( \neg(\neg P \vee Q) \vee \neg(\neg Q \vee P) \big)

Soit encore :

\neg (P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( (\neg(\neg P) \wedge \neg Q) \vee (\neg(\neg Q) \wedge \neg P) \big)

Or on a

(\neg(\neg P) \Longleftrightarrow P

(\neg(\neg Q) \Longleftrightarrow Q

. Finalement, on aboutit à :

{\color{red}{\boxed{\neg (P \Longleftrightarrow Q) \Longleftrightarrow \big( P \wedge \neg Q) \vee (Q \wedge \neg P) \big) }}}

Question 4

$P \Longrightarrow \neg Q$

Correction

On a :

(P \Longrightarrow \neg Q) \Longleftrightarrow (\neg P \vee \neg Q)

Ainsi, on en duit par négation que :

(\neg (P \Longrightarrow \neg Q)) \Longleftrightarrow (\neg(\neg P \vee \neg Q))

Ce qui nous donne ;

(\neg (P \Longrightarrow \neg Q)) \Longleftrightarrow (\neg(\neg P) \wedge \neg(\neg Q))

Or on a

(\neg(\neg P) \Longleftrightarrow P

(\neg(\neg Q) \Longleftrightarrow Q

. Finalement, on aboutit à :

{\color{red}{\boxed{ \neg (P \Longrightarrow \neg Q) \Longleftrightarrow (P \wedge Q) }}}

Question 5

$P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)$

Correction

D'après la question précédente, on a :

\neg (P \Longrightarrow \neg Q) \Longleftrightarrow (P \wedge Q)

Donc :

\neg (P \Longrightarrow Q) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg Q)

Dans cette dernière relation, remplaçons

Q

par

(Q \Longrightarrow R)

. On obtient alors :

\neg (P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)) \Longleftrightarrow (P \wedge \neg (Q \Longrightarrow R))

De la relation issue de la question précédente, on tire également que :

\neg (Q \Longrightarrow R) \Longleftrightarrow (Q \wedge \neg R)

. Donc, on peut donc écrire que :

\neg (P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)) \Longleftrightarrow (P \wedge (Q \wedge \neg R))

Finalement, on trouve que :

{\color{red}{\boxed{ \neg (P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)) \Longleftrightarrow (P \wedge Q \wedge \neg R) }}}

La négation - Exercice 1

P∧¬QP \wedge \neg QP∧¬Q

P∨(Q∧R)P \vee (Q \wedge R)P∨(Q∧R)

P⟺QP \Longleftrightarrow QP⟺Q

P⟹¬QP \Longrightarrow \neg QP⟹¬Q

P⟹(Q⟹R)P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)P⟹(Q⟹R)

$P \wedge \neg Q$

$P \vee (Q \wedge R)$

$P \Longleftrightarrow Q$

$P \Longrightarrow \neg Q$

$P \Longrightarrow (Q \Longrightarrow R)$