D'autres opérateurs logiques - Langage de la logique et des ensembles - Maths Sup / L1

Question 1

Soit

P

et

Q

deux assertions.
On considère les connecteurs binaires suivants :

\bullet \,\,

l'

{\color{red}{\bf{alternative}}}

(ou disjonction exclusive), noté

{\color{red}{\omega}}

, qui se lit "ou bien ... , ou bien ... " ou encore "soit ... , soit ..." : (c'est le ou exclusif) ;

\bullet \bullet \,\,

l'

{\color{blue}{\bf{incompatibilité}}}

, encore appelé connecteur de Sheffer (en hommage au logicien américain logicien Henry Maurice Sheffer - 1882/1964), noté

{\color{blue}{\vert}}

, et qui se lit "... exclut ... ". Ce connecteur a été introduit en 1913 par Sheffer. De nos jours il appelé NAND (non et). Sa définition est

(P\vert Q) \Longleftrightarrow \neg (P \wedge Q)

;

\bullet \bullet \bullet \,\,

le

{\color{green}{\bf{rejet}}}

, encore appelé connecteur de Peirce (en hommage au philosophe américain logicien Charles Sanders Peirce - 1839/1914), noté

{\color{green}{\vert\vert}}

, et qui se lit "ni ...,ni ...". Ce connecteur a été introduit en 1885 par Peirce. De nos jours il appelé NOR (non ou). C'est Peirce qui eu l'idée d'introduire la table de vérité. Sa définition est

(P \vert\vert Q) \Longleftrightarrow \neg(P \vee Q)

.

Donner la table de vérité de ${\color{red}{\omega}}$ .

Correction

La table de l'alternative

P \, {\color{red}{\omega}} \, Q

qui se lit "soit

P

, soit

Q

" est donc donnée par :

{\color{red}{\bullet}} \,\,

Si

P

et

Q

ont la même vérité (les deux sont

V

ou les deux sont

F

) alors

P \, {\color{red}{\omega}} \, Q

est

F

car c'est soit l'un, soit l'autre, et pas les deux.

{\color{red}{\bullet \bullet}} \,\,

Si

P

et

Q

ont des vérités différentes (l'une

V

et l'autre

F

) alors

P \, {\color{red}{\omega}} \, Q

est

V

car c'est soit l'un, soit l'autre, et pas les deux.
Ainsi, on a :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \, {\color{red}{\omega}} \, Q \\ \hline V & V & {\color{red}{F}} \\ \hline V & F & {\color{red}{V}} \\ \hline F & V & {\color{red}{V}} \\ \hline F & F & {\color{red}{F}} \\ \hline\end{array}

Question 2

Donner la table de vérité de ${\color{blue}{\vert}}$ .

Correction

On sait que l'incompatibilité est défini par :

(P {\color{blue}{\vert}} Q) \Longleftrightarrow \neg (P \wedge Q)

Or, on a :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \wedge Q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & F \\ \hline\end{array}

Donc, on en déduit que :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & \neg( P \wedge Q ) \\ \hline V & V & F \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline\end{array}

Finalement, on trouve que :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{blue}{\vert}} Q \\ \hline V & V & {\color{blue}{F}} \\ \hline V & F & {\color{blue}{V}} \\ \hline F & V & {\color{blue}{V}} \\ \hline F & F & {\color{blue}{V}} \\ \hline\end{array}

Question 3

Donner la table de vérité de ${\color{green}{\vert\vert}}$ .

Correction

On sait que le rejet est défini par :

(P {\color{green}{\vert}\vert} Q) \Longleftrightarrow \neg (P \vee Q)

Or, on a :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \vee Q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & F \\ \hline\end{array}

Donc, on en déduit que :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & \neg( P \vee Q ) \\ \hline V & V & F \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & F \\ \hline F & F & V \\ \hline\end{array}

Finalement, on trouve que :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}

Question 4

Soit $P$ et $Q$ deux assertions. A l'aide d'une table de vérité, vérifier l'équivalence suivante :
$(P\vert Q) \Longleftrightarrow (P \Longrightarrow \neg Q)$

Correction

On sait que :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \Longrightarrow Q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & F \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline\end{array}

Donc, on en déduit donc que :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & \neg Q & P \Longrightarrow \neg Q \\ \hline V & F & F \\ \hline V & V & V \\ \hline F & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline\end{array}

On a alors :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{blue}{\vert}} Q & P \Longrightarrow \neg Q \\ \hline V & V & {\color{blue}{F}} & F \\ \hline V & F & {\color{blue}{V}} & V \\ \hline F & V & {\color{blue}{V}} & V \\ \hline F & F & {\color{blue}{V}} & V\\ \hline\end{array}

On constate alors que les deux dernières colonnes ont les mêmes vérités, donc qu'elles sont équivalente. On a alors :

{\color{red}{\boxed{(P\vert Q) \Longleftrightarrow (P \Longrightarrow \neg Q)}}}

Question 5

Soit $P$ une assertion. Déterminer à quelle proposition est équivalente la proposition assertionnelle $P\vert \vert P$ .

Correction

On sait que :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}

Donc :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & P & P {\color{green}{\vert\vert}} P \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}

On constate alors que

P {\color{green}{\vert\vert}} P

à la même table de vérité que

\neg P

. Ainsi on a :

{\color{red}{\boxed{ P \vert\vert P\Longleftrightarrow \neg P }}}

Question 6

Soit $P$ et $Q$ deux assertions. Déterminer à quelle proposition est équivalente la proposition assertionnelle $\big( (P\vert \vert Q) \,\, \vert \vert \,\, (P\vert \vert Q) \big)$ .

Correction

On a :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}

Donc :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P {\color{green}{\vert\vert}} Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q & (P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \,\,{\color{green}{\vert\vert}} \,\,(P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} \\ \hline F & F & {\color{green}{V}} \\ \hline\end{array}

Ainsi, à l'aide des deux tables précédentes, on en déduit que :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline P & Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q & P {\color{green}{\vert\vert}} Q & (P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \,\,{\color{green}{\vert\vert}} \,\,(P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \\ \hline V & V & {\color{green}{F}} & {\color{green}{F}} & {\color{green}{V}} \\ \hline V & F & {\color{green}{F}} & {\color{green}{F}} & {\color{green}{V}} \\ \hline F & V & {\color{green}{F}} & {\color{green}{F}} & {\color{green}{V}}\\ \hline F & F & {\color{green}{V}} & {\color{green}{V}} & {\color{green}{F}} \\ \hline\end{array}

En outre, on sait que :

\begin{array}{|c|c|c|} \hline P & Q & P \vee Q \\ \hline V & V & V \\ \hline V & F & V \\ \hline F & V & V \\ \hline F & F & F \\ \hline\end{array}

Donc, on a donc la table de synthèse suivante :

\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P & Q & P \vee Q & (P {\color{green}{\vert\vert}} Q) \,\,{\color{green}{\vert\vert}} \,\,(P {\color{green}{\vert\vert}} Q)\\ \hline V & V & V & {\color{green}{V}} \\ \hline V & F & V & {\color{green}{V}} \\ \hline F & V & V & {\color{green}{V}} \\ \hline F & F & F & {\color{green}{F}} \\ \hline\end{array}

On constate que les deux dernières colonnes ont les mêmes vérités, donc ces deux colonnes sont équivalente. On peut donc conclure que :

{\color{red}{\boxed{ \big( (P\vert \vert Q) \,\, \vert \vert \,\, (P\vert \vert Q) \big) \Longleftrightarrow P \vee Q }}}

D'autres opérateurs logiques - Exercice 1

Donner la table de vérité de ω{\color{red}{\omega}}ω.

Donner la table de vérité de ∣{\color{blue}{\vert}}∣.

Donner la table de vérité de ∣∣{\color{green}{\vert\vert}}∣∣.

Soit PPP et QQQ deux assertions. A l'aide d'une table de vérité, vérifier l'équivalence suivante :(P∣Q)⟺(P⟹¬Q)(P\vert Q) \Longleftrightarrow (P \Longrightarrow \neg Q)(P∣Q)⟺(P⟹¬Q)

Soit PPP une assertion. Déterminer à quelle proposition est équivalente la proposition assertionnelle P∣∣PP\vert \vert PP∣∣P.

Soit PPP et QQQ deux assertions. Déterminer à quelle proposition est équivalente la proposition assertionnelle ((P∣∣Q) ∣∣ (P∣∣Q))\big( (P\vert \vert Q) \,\, \vert \vert \,\, (P\vert \vert Q) \big)((P∣∣Q)∣∣(P∣∣Q)).

Donner la table de vérité de ${\color{red}{\omega}}$ .

Donner la table de vérité de ${\color{blue}{\vert}}$ .

Donner la table de vérité de ${\color{green}{\vert\vert}}$ .

Soit $P$ et $Q$ deux assertions. A l'aide d'une table de vérité, vérifier l'équivalence suivante :
$(P\vert Q) \Longleftrightarrow (P \Longrightarrow \neg Q)$

Soit $P$ une assertion. Déterminer à quelle proposition est équivalente la proposition assertionnelle $P\vert \vert P$ .

Soit $P$ et $Q$ deux assertions. Déterminer à quelle proposition est équivalente la proposition assertionnelle $\big( (P\vert \vert Q) \,\, \vert \vert \,\, (P\vert \vert Q) \big)$ .