Cas de l'équivalence - Exercice 1

Commençons par constater que $$x$$ doit nécessairement être positif ou nul ; sinon l'égalité avec $$\sqrt{x^2 + 1}$$ n'aurait pas de sens. En effet, une racine carré est forcément positive ou nulle, et que nous pouvons écrire que $$x = \sqrt{\dfrac{x^2+1}{4}} \geqslant 0$$.
Donc, avec $$x \in \mathbb{R}^+$$, les deux termes présents sont positifs ou nuls, d'où :
$$2x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow (2x)^2 = x^2 + 1$$
Soit :
$$2x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow 4x^2 = x^2 + 1$$
Soit encore :
$$2x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow 3x^2 = 1$$
Ce qui nous donne :
$$2x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow x^2 = \dfrac{1}{3}$$
En se souvenant que $$x$$ doit être positif ou nul, on aboutit à :
$$2x = \sqrt{x^2 + 1} \Longleftrightarrow x = \sqrt{\dfrac{1}{3}}$$
En conclusion, l'unique solution $$x$$ de l'équation proposée est : $$x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$ $${\color{blue}{\blacksquare}}$$