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Avec la négation - Exercice 2

5 min
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Question 1

Soit (un)\left(u_n\right) une suite réelle.
Donner la négation de l'assertion suivante :
∀ε>0, ∃α∈N; ∀n∈N, ∀p∈N, ((n≥α)∧(p≥4)⟹∣un−un+p∣<ε)\forall \varepsilon >0,\ \exists \alpha \in \mathbb{N};\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall p\in \mathbb{N},\ \left(\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)\Longrightarrow \left|u_n-u_{n+p}\right|<\varepsilon \right)

Correction
∀ε>0, ∃α∈N; ∀n∈N, ∀p∈N, ((n≥α)∧(p≥4)⟹∣un−un+p∣<ε)\forall \varepsilon >0,\ \exists \alpha \in \mathbb{N};\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall p\in \mathbb{N},\ \left(\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)\Longrightarrow \left|u_n-u_{n+p}\right|<\varepsilon \right)
  • (P⟹Q)⟺(P‾∨Q)\left(P\Longrightarrow Q\right)\Longleftrightarrow \left(\overline{P}\vee Q\right)
∀ε>0, ∃α∈N; ∀n∈N, ∀p∈N, ((n≥α)∧(p≥4)‾∨∣un−un+p∣<ε)\forall \varepsilon >0,\ \exists \alpha \in \mathbb{N};\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall p\in \mathbb{N},\ \left(\overline{\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)}\vee \left|u_n-u_{n+p}\right|<\varepsilon \right)
Ainsi :
¬(∀ε>0, ∃α∈N; ∀n∈N, ∀p∈N, ((n≥α)∧(p≥4)‾∨∣un−un+p∣<ε))\neg \left(\forall \varepsilon >0,\ \exists \alpha \in \mathbb{N};\ \forall n\in \mathbb{N},\ \forall p\in \mathbb{N},\ \left(\overline{\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)}\vee \left|u_n-u_{n+p}\right|<\varepsilon \right)\right)
Finalement :
∃ε>0, ∀α∈N; ∃n∈N, ∃p∈N, ((n≥α)∧(p≥4)∧∣un−un+p∣≥ε){\color{red}{\boxed{\exists \varepsilon >0,\ \forall \alpha \in \mathbb{N};\ \exists n\in \mathbb{N},\ \exists p\in \mathbb{N},\ \left(\left(n\ge \alpha \right)\wedge \left(p\ge 4\right)\wedge \left|u_n-u_{n+p}\right|\ge \varepsilon \right)}}}

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