Un équivalent à l'infini - Exercice 1

On a :
$$\forall x \in x \in [e \,;\, +\infty[, \,\, f'(x) = \left( \dfrac{x}{\ln(x)} \right)' = \dfrac{x'\ln(x) - x\big( \ln(x) \big)'}{\big( \ln(x) \big)^2} = \dfrac{1\ln(x) - x\dfrac{1}{x}}{\big( \ln(x) \big)^2} = \dfrac{\ln(x) - 1}{\big( \ln(x) \big)^2}$$
Mais :
$$x \geqslant e \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \ln(x) \geqslant \ln(e) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \ln(x) \geqslant 1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \ln(x) - 1 \geqslant 0$$
De plus, on a :
$$\forall x \in x \in [e \,;\, +\infty[, \,\, \ln(x) \geqslant 1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \big( \ln(x) \big)^2 \geqslant 1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \big( \ln(x) \big)^2 > 0$$
Ainsi, on en déduit que :
$$\forall x \in x \in [e \,;\, +\infty[, \,\, \dfrac{\ln(x) - 1}{\big( \ln(x) \big)^2} \geqslant 0$$
Ce qui revient à écrire que :
$$\forall x \in x \in [e \,;\, +\infty[, \,\, f'(x) \geqslant 0$$
Ce qui signifie que la fonction $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$[e \,;\, +\infty[$$.

Comme la fonction $$f$$ est croissante sur l'intervalle $$[e \,;\, +\infty[$$ et que $$e \simeq 2,718$$, on va donc supposer que $$k \geqslant 3$$ car $$k$$ est un nombre entier naturel. Donc :
$$\forall x \in x \in [k \,;\, k+1], \,\, f(k) \leqslant f(x) \leqslant f(k+1)$$
Ce qui implique que :
$$\forall x \in x \in [k \,;\, k+1], \,\, \int_k^{k+1} f(k) \, dx \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \, dx \leqslant \int_k^{k+1} f(k+1) \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$\forall x \in x \in [k \,;\, k+1], \,\, f(k) \int_k^{k+1} 1 \, dx \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \, dx \leqslant f(k+1) \int_k^{k+1} 1 \, dx$$
Comme $$\int_k^{k+1} 1 \, dx = [x]_k^{k+1} = k+1 - k = 1$$, on aboutit à :
$$\forall x \in x \in [k \,;\, k+1], \,\, f(k) \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \, dx \leqslant f(k+1)$$
Donc, avec $$k \geqslant 4$$, et pour tenir compte de l'inégalité précédente (issue de $$k \geqslant 3$$) on peut donc écrire que l'on a l'encadrement de $$f(k)$$ suivant :
$$\int_{k-1}^k f(x) \, dx \leqslant f(k) \leqslant \int_k^{k+1} f(x) \, dx$$
Ainsi, à partir de $$n=3$$, on va pouvoir écrire pour la première valeur de $$k$$ possible (puisque $$u_n = \sum_{k = n+1}^{2n} \dfrac{k}{\ln(k)}$$) qui est $$k=n+1$$, l'encadrement suivant :
$$\int_{n+1-1}^{n+1} f(x) \, dx \leqslant f(n+1) \leqslant \int_{n+1}^{n+1+1} f(x) \, dx$$
Ce qui nous donne :
$$\bullet \,\,\, k = n+1 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_{n}^{n+1} f(x) \, dx \leqslant \dfrac{n+1}{\ln(n+1)} \leqslant \int_{n+1}^{n+2} f(x) \, dx$$
Puis :
$$\bullet \,\,\, k = n+2 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_{n+1}^{n+2} f(x) \, dx \leqslant \dfrac{n+2}{\ln(n+2)} \leqslant \int_{n+2}^{n+3} f(x) \, dx$$
$$\bullet \,\,\, k = n+3 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_{n+2}^{n+3} f(x) \, dx \leqslant \dfrac{n+3}{\ln(n+3)} \leqslant \int_{n+3}^{n+4} f(x) \, dx$$
$$\vdots$$
$$\bullet \,\,\, k = 2n \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_{2n-1}^{2n} f(x) \, dx \leqslant \dfrac{2n}{\ln(2n)} \leqslant \int_{2n}^{2n+1} f(x) \, dx$$
Ainsi, par addition membres à membres et en faisant usage de la relation de $$Chasles$$, on trouve que :
$$\bullet \,\,\, k \in [ n+1 \,;\, 2n ] \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_{n}^{2n} f(x) \, dx \leqslant \sum_{k = n+1}^{2n} \dfrac{k}{\ln(k)} \leqslant \int_{n+1}^{2n+1} f(x) \, dx$$
Ce qui nous donne donc :
$$\bullet \,\,\, n \geqslant 3, \,\, k \in [ n+1 \,;\, 2n ] \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant u_n \leqslant \int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx$$
Les deux intégrales présentent, comme minorant et majorant, ne sont pas calculables analytiquement à ce niveau de connaissances. C'est pourquoi nous allons "élargir" cette inégalité.
Concernant le minorant, sur l'intervalle d'intégration $$[n \,;\, 2n]$$, on a (puisque la fonction $$\ln$$ est strictement croissante sur son domaine de définition) :
$$\int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(2n)} \, dx \leqslant \int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{\ln(2n)}\int_{n}^{2n} x \, dx \leqslant \int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx$$
Soit encore :
$$\dfrac{1}{\ln(2n)}\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{n}^{2n} \leqslant \int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2\ln(2n)}\left[ x^2 \right]_{n}^{2n} \leqslant \int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx$$
Ce qui nous donne donc pour l'intégrale minorante :
$$\dfrac{1}{2\ln(2n)} \left( (2n)^2 - n^2 \right) \leqslant \int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{2\ln(2n)} \left( 4n^2 - n^2 \right) \leqslant \int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx$$
D'où :
$$\dfrac{3n^2}{2\ln(2n)} \leqslant \int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx$$
Concernant le majorant, sur l'intervalle d'intégration $$[n+1 \,;\, 2n+1]$$, on a (puisque la fonction $$\ln$$ est strictement croissante sur son domaine de définition) :
$$\int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant \int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(n+1)} \, dx \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant \dfrac{1}{\ln(n+1)} \int_{n+1}^{2n+1} x \, dx$$
Soit encore :
$$\int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant \dfrac{1}{\ln(n+1)} \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{n+1}^{2n+1} \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant \dfrac{1}{2\ln(n+1)} \left[ x^2 \right]_{n+1}^{2n+1}$$
Ce qui nous donne donc pour l'intégrale majorante :
$$\int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant \dfrac{1}{2\ln(n+1)} \left( (2n+1)^2 -(n+1)^2 \right)$$
Soit :
$$\int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant \dfrac{1}{2\ln(n+1)} \left( 4n^2 + 4n + 1 -(n^2 + 2n + 1) \right)$$
Soit encore :
$$\int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant \dfrac{1}{2\ln(n+1)} \left( 4n^2 + 4n + 1 - n^2 - 2n - 1 \right)$$
D'où :
$$\int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant \dfrac{3n^2 + 2n}{2\ln(n+1)}$$
Dès lors on aboutit à :
$$\dfrac{3n^2}{2\ln(2n)} \leqslant \int_{n}^{2n} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant u_n \leqslant \int_{n+1}^{2n+1} \dfrac{x}{\ln(x)} \, dx \leqslant \dfrac{3n^2 + 2n}{2\ln(n+1)}$$
Ce qui nous conduit naturellement à l'encadrement "élargi", du terme $$u_n$$, suivant :
$$\dfrac{3n^2}{2\ln(2n)} \leqslant u_n \leqslant \dfrac{3n^2 + 2n}{2\ln(n+1)}$$
Déterminons maintenant les équivalents, en $$+ \infty$$, des deux termes qui encadre $$u_n$$. Pour le nouveau minorant, on a :
$$\dfrac{3n^2}{2\ln(2n)} = \dfrac{3n^2}{2\big( \ln(2) + \ln(n)\big)}$$
Lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, le terme $$\ln(2)$$ est totalement négligeable devant $$\ln(n)$$. Ce qui nous permet d'écrire l'équivalent (du nouveau minorant) suivant :
$$\dfrac{3n^2}{2\ln(2n)} \underset{\infty}{\sim} \dfrac{3n^2}{2\ln(n)}$$
Pour le nouveau majorant, on a :
$$\dfrac{3n^2+2n}{2\ln(2n)} = \dfrac{3n^2 \left( 1 + \dfrac{2n}{3n^2} \right)}{2\big( \ln(2) + \ln(n)\big)} = \dfrac{3n^2 \left( 1 + \dfrac{2}{3n} \right)}{2\big( \ln(2) + \ln(n)\big)}$$
Lorsque $$n \longrightarrow + \infty$$, le terme $$\ln(2)$$ est totalement négligeable devant $$\ln(n)$$. Puis, le terme $$\dfrac{2}{3n}$$ est lui totalement négligeable devant $$1$$. Ce qui nous permet d'écrire l'équivalent (du nouveau minorant) suivant :
$$\dfrac{3n^2 + 2n}{2\ln(2n)} \underset{\infty}{\sim} \dfrac{3n^2}{2\ln(n)}$$
Ainsi, on constate que le terme $$u_n$$ est encadré par un majorant et un minorant qui admettent le même équivalent en $$+\infty$$. On en déduit donc que le terme $$u_n$$ à lui aussi ce même équivalent en $$+\infty$$.
Finalement, on peut donc conclure que :
$$u_n \underset{\infty}{\sim} \dfrac{3n^2}{2\ln(n)}$$