Pour s'amuser ! - Exercice 1

Soit $$F$$ la fonction suivante :
$$F : x \in \mathbb{R}^+ \longrightarrow \left( \int_0^x f(x) \, dx \right)^2 - \int_0^x \big( f(x) \big)^3 \, dx$$
Pour démontrer l'inégalité demandée, il suffit de montrer que la fonction $$F$$ est positive sur $$\mathbb{R}^+$$.
Mais $$F(x=0) = 0$$, donc il nous suffit de montrer que la fonction $$F$$ est croissante sur $$\mathbb{R}^+$$.
Ceci signifie qu'il nous faut montrer que la fonction dérivée $$F'$$ est positive sur $$\mathbb{R}^+$$.
Par hypothèse, on sait que $$f$$ est continue sur $$\mathbb{R}^+$$, il en va donc de même pour $$f^3$$.
Ainsi les deux fonctions $$x \in \mathbb{R}^+ \longrightarrow \int_0^x f(x) \, dx$$ et $$x \in \mathbb{R}^+ \longrightarrow \int_0^x \big( f(x) \big)^3 \, dx$$ sont dérivables sur $$\mathbb{R}^+$$, et cela implique que $$F$$ est dérivable également sur $$\mathbb{R}^+$$. Et on a :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, F'(x) = 2 f(x)\left( \int_0^x f(x) \, dx \right) - \big( f(x) \big)^3$$.
Le sujet apporte l'hypothèse suivante :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, 0 \leqslant f'(x) \leqslant 1$$.
Donc $$f$$ est croissante sur $$\mathbb{R}^+$$. De plus, le sujet nous apprend que $$f(x=0) = 0$$ donc :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, f(x) \geqslant 0$$.
A ce stade écrivons :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, F'(x) = f(x) \left( 2\left( \int_0^x f(x) \, dx \right) - \big( f(x) \big)^2 \right)$$.
Ainsi, la situation nous conduit à étudier le signe de $$s : x \in \mathbb{R}^+ \longrightarrow s(x) = 2\left( \int_0^x f(x) \, dx \right) - \big( f(x) \big)^2$$.
Cette fonction $$s$$ est bien évidemment dérivable sur $$\mathbb{R}^+$$. Et on a immédiatement :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, s'(x) = 2 f(x) - 2 f(x) f'(x)$$.
En factorisant par $$f$$ on a donc :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, s'(x) = 2 f(x) \left( 1 - f'(x) \right)$$
Cependant, on sait par hypothèse que :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, 0 \leqslant f'(x) \leqslant 1$$
Soit encore :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, 1 - f'(x) \geqslant 0$$
On peut donc en déduire, puisque $$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, f(x) \geqslant 0$$, que :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, s'(x) \geqslant 0$$
Et de fait $$s$$ est croissante sur $$\mathbb{R}^+$$. Puis, on constate que $$s(x=0) = 0$$ car $$f(x=0) = 0$$. Donc, on peut affirmer que :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, s(x) \geqslant 0$$
Mais comme $$F' = fs$$ on on peut donc également affirmer que :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, F'(x) \geqslant 0$$
En conséquence directe, $$F$$ est croissante sur $$\mathbb{R}^+$$. Et comme $$F(x=0) = 0$$ on en déduit que $$F$$ est positive sur $$\mathbb{R}^+$$ :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, F(x) \geqslant 0$$
Ceci s'écrit également comme :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, \left( \int_0^x f(x) \, dx \right)^2 - \int_0^x \big( f(x) \big)^3 \, dx \geqslant 0$$
Et finalement :
$$\forall x \in \mathbb{R}^+, \,\, \left( \int_0^x f(x) \, dx \right)^2 \geqslant \int_0^x \big( f(x) \big)^3 \, dx$$