Inégalité de Minkowski - Exercice 1

L'hypothèse $$a < b$$ implique que :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \displaystyle{\int_a^b} \big( f(x) + g(x) \big)^2 \, dx & \geqslant & 0 \\ \displaystyle{\int_a^b} f^2(x) \, dx & \geqslant & 0 \\ \displaystyle{\int_a^b} g^2(x) \, dx & \geqslant & 0 \\ \end{array} \right.$$
Puis, on a :
$$\int_a^b \big( f(x) + g(x) \big)^2 \, dx = \int_a^b \big( f^2(x) + 2 \, f(x) \, g(x) + g^2(x) \big) \, dx$$
Soit :
$$\int_a^b \big( f(x) + g(x) \big)^2 \, dx = \int_a^b f^2(x) \, dx + 2 \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx + \int_a^b g^2(x) \, dx$$
Puis, on a :
$$\int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \leqslant \left| \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \right|$$
L'inégalité de $$Cauchy-Schwarz$$ nous dit que :
$$\left| \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \right| \leqslant \sqrt{ \int_a^b f^2(x) \, dx \times \int_a^b g^2(x) \, dx }$$
De fait, on obtient :
$$\int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \leqslant \sqrt{ \int_a^b f^2(x) \, dx \times \int_a^b g^2(x) \, dx }$$
Ainsi, on a l'inégalité suivante :
$$2\int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \leqslant 2\sqrt{ \int_a^b f^2(x) \, dx \times \int_a^b g^2(x) \, dx }$$
Ce qui entraine que :
$$\int_a^b f^2(x) \, dx + 2\int_a^b f(x) \, g(x) \, dx + \int_a^b g^2(x) \, dx \leqslant \int_a^b f^2(x) \, dx + 2\sqrt{ \int_a^b f^2(x) \, dx \times \int_a^b g^2(x) \, dx } + \int_a^b g^2(x) \, dx$$
Ce qui s'écrit également :
$$\int_a^b \big( f(x) + g(x) \big)^2 \, dx \leqslant \sqrt{\int_a^b f^2(x) \, dx}^2 + 2\sqrt{ \int_a^b f^2(x) \, dx} \times \sqrt{\int_a^b g^2(x) \, dx } + \sqrt{\int_a^b g^2(x) \, dx}^2$$
Ceci nous donne doc (par usage d'une identité remarquable) :
$$\int_a^b \big( f(x) + g(x) \big)^2 \, dx \leqslant \left( \sqrt{\int_a^b f^2(x) \, dx} + \sqrt{\int_a^b g^2(x) \, dx} \,\right)^2$$
L'opration racine carré conserve l'ordre sur $$\mathbb{R}^+$$. Donc, on en déduit que :
$$\sqrt{ \int_a^b \big( f(x) + g(x) \big)^2 \, dx } \leqslant \sqrt{ \left( \sqrt{ \int_a^b f^2(x) \, dx } + \sqrt{ \int_a^b g^2(x) \, dx } \, \right)^2 }$$
Finalement, on trouve que :
$$\sqrt{ \int_a^b \big( f(x) + g(x) \big)^2 \, dx } \leqslant \sqrt{ \int_a^b f^2(x) \, dx } + \sqrt{ \int_a^b g^2(x) \, dx }$$
Nous avons donc démontré l'inégalité de $$Minkowski$$.