Sujet $$1$$ - Exercice 3

On a :
$$\forall \lambda \in \mathbb{R}, \,\, \forall (P_1\,;\,P_2) \in (\mathbb{R}_n [X])^2, \,\, \varphi(P_1 + \lambda P_2) = \int_{0}^{1} (P_1(t) + \lambda P_2(t) ) \, dt$$
Soit :
$$\varphi(P_1 + \lambda P_2) = \int_{0}^{1} P_1(t)\, dt + \lambda \int_{0}^{1} P_2(t)\, dt$$
Ainsi, on en déduit que :
$$\varphi(P_1 + \lambda P_2) = \varphi(P_1) + \lambda \varphi (P_2)$$
Donc, on a bien

On sait que $$\mathrm{im} \, \varphi$$ est un sous espace vectoriel de $$\mathbb{R}$$. Or $$\mathbb{R}$$ ne possède (de part sa structure de $$\mathbb{R}$$-espace vectoriel) que deux sous espaces vectoriels : $$\mathbb{R}$$ et $$\{0\}$$.
Or, $$\mathrm{im} \, \varphi \neq \{0\}$$, puisque par exemple $$\varphi(1) = \displaystyle{\int_{0}^{1}} 1\, dt = 1 \in \mathrm{im} \, \varphi$$. Donc, automatiquement, on en déduit que :

On sait que :
$$\dim ( \mathbb{R}_n [X] ) = \dim (\ker \varphi ) + \dim (\mathrm{im} \, \varphi ) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, n+1 = \dim (\ker \varphi ) + \dim (\mathbb{R} )$$
Or, on sait que $$\dim (\mathbb{R} ) = 1$$, ce qui implique que :

On sait que $$\mathrm{im} \, \psi$$ est engendré par les images des éléments d'une base $$\mathfrak{B}_{\mathbb{R}_n [X]}$$ de l'ensemble de départ $$\mathbb{R}_n [X]$$. Ainsi :
$$\mathrm{im} \, \psi = \mathrm{Vect} \left(\psi(\mathfrak{B}_{\mathbb{R}_n [X]})\right)$$
Or, une base élémentaire $$\mathfrak{B}_{\mathbb{R}_n [X]}$$ de $$\mathbb{R}_n [X]$$ est donnée par la base canonique suivante :
$$\mathfrak{B}_{\mathbb{R}_n [X]} = \left(\{X^i\}, \, i \in [\![ 0\,;\,n]\!] \right)$$
Ce qui implique que :
$$\mathrm{im} \, \psi = \mathrm{Vect} \left(\psi(X^i), \, i \in [\![ 0\,;\,n]\!] \right)$$
Soit encore :
$$\mathrm{im} \, \psi = \mathrm{Vect} \left(\int_{0}^{X} t^i \, dt, \, i \in [\![ 0\,;\,n]\!] \right) <br />\,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \mathrm{im} \, \psi = \mathrm{Vect} \left(\dfrac{X^{i+1}}{i+1}, \, i \in [\![ 0\,;\,n]\!] \right)$$
D'où, par changement d'indice :
$$\mathrm{im} \, \psi = \mathrm{Vect} \left(\dfrac{X^{i}}{i}, \, i \in [\![ 1\,;\,n+1]\!] \right)$$
Ainsi, à la constante $$i$$ près (qui ne change rien sur le fait d'engendrer le sous espace vectoriel image $$\mathrm{im} \, \psi$$), on en déduit finalement la proposition de l'énoncé, à savoir que :

On a une équivalence ($$\Longleftrightarrow$$) à démontrer, on va donc procéder en deux implications réciproques.
$$\blacktriangledown \,\, \bf{Sens \,\, direct \,\,} \bf{\Longrightarrow}$$
Soit $$\forall P \in \mathbb{R}_n [X]$$, on a :
$$\varphi (P) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_{0}^{1} P(t)\, dt = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, Q(1) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \psi(P(1)) = 0$$
Ainsi $$\psi(P))$$ est un polynôme qui admet $$1$$ comme racine. Cependant, la définition même de $$\psi$$, $$0$$ est également une racine. Donc on va pouvoir écrire que $$\psi(P) \in \mathbb{R}_{n+1} [X]$$ est nécessairement de la forme suivante :
$$\psi(P(X)) = X (X - 1) \times \mathcal{P}(X) \,\,\,\,\,\,\, \mathrm{avec : } \deg \mathcal{P} \leqslant n-1$$
Or, comme $$\mathcal{P} \in \mathbb{R}_{n-1} [X]$$ alors on peut écrire que :
$$\exists (\lambda_0 \,;\, \lambda_1 \,;\, ... \,;\, \lambda_{n-1}) \in \mathbb{R}^n, \,\, \mathcal{P}(X) = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \, X^k$$
Ce qui implique que :
$$\psi(P(X)) = X (X - 1) \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \, X^k \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \psi(P(X)) = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \, X^{k+1} (X - 1)$$
Donc, en posant $$k = i - 1$$, on en déduit que :
$$\psi(P(X)) = \sum_{i = 1}^{n} \lambda_i \, X^{i} (X - 1)$$
On ne change pas l'indice de $$\lambda_i$$ car c'est un scalaire. Donc, on obtient :
$$\psi (P) \in \mathrm{Vect} \left( \{X^i (X-1)\}, \, i \in [\![ 1\,;\,n]\!] \right)$$
$$\blacktriangledown\blacktriangledown \,\, \bf{Sens \,\, indirect \,\,} \bf{\Longleftarrow}$$
Supposons que :
$$\psi (P) \in \mathrm{Vect} \left( \{X^i (X-1)\}, \, i \in [\![ 1\,;\,n]\!] \right)$$
Donc cela signifie que :
$$\exists (\lambda_1 \,;\, \lambda_2 \,;\, ... \,;\, \lambda_{n}) \in \mathbb{R}^n, \,\, \psi({P}(X)) = \sum_{k = 1}^{n} \lambda_k \, X^k (X-1)$$
Ainsi :
$$\psi({P}(X=1)) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, Q(X=1) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_{0}^{1} P(t) \, dt = 0$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\varphi (P) = 0$$
$$\leftrightarrows \,\, {\bf{Conclusion :}}$$
On vient donc de démontrer que, $$\forall P \in \mathbb{R}_n [X]$$, on a :

Comme on a :
$$\psi({P}(X)) = \int_{0}^{X} P(t) \, dt$$
Cela implique que :
$$\dfrac{d \psi({P}(X)) }{dX} = P(X)$$
Or, on a :
$$P \in \ker \varphi \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{d \psi({P}(X)) }{dX} \in \ker \varphi$$
Mais, on peut écrire que :
$$\dfrac{d \psi({P}(X)) }{dX} \in \mathrm{Vect} \left( \left\lbrace \dfrac{d \left[ X^i (X-1) \right] }{dX} \right\rbrace , \, i \in [\![ 1\,;\,n]\!] \right)$$
Soit :
$$\dfrac{d \psi({P}(X)) }{dX} \in \mathrm{Vect} \left( \left\lbrace iX^{i-1}(X-1) + X^i \right\rbrace , \, i \in [\![ 1\,;\,n]\!] \right)$$
Donc la famille $$\left\lbrace iX^{i-1}(X-1) + X^i \right\rbrace , \, i \in [\![ 1\,;\,n]\!]$$ est génératrice de $$\ker \varphi$$, et cette famille est de dimension $$n$$.
Or on sait, d'après la question $$3.$$ de la \textbf{Partie A}, que $$n = \dim (\ker \varphi)$$. Ainsi, on peut écrire que :
$$\dim (\ker \varphi) = \dim \left( \left\lbrace iX^{i-1}(X-1) + X^i \right\rbrace , \, i \in [\![ 1\,;\,n]\!] \right)$$
En conclusion, on en déduit que la famille $$\left\lbrace iX^{i-1}(X-1) + X^i \right\rbrace , \, i \in [\![ 1\,;\,n]\!]$$ est une base de $$\ker \varphi$$ :