Sommes de sous espaces vectoriels

$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, Généralités}}}$$
On désigne par $$\mathbb{K}$$ l'ensemble $$\mathbb{R}$$ ou $$\mathbb{C}$$. On désigne par $$V$$ un espace vectoriel sur $$\mathbb{K}$$. Les ensembles $$E$$ et $$F$$ désignent deux sous-espaces vectoriels de $$V$$. On pose :
$$E + F = \left\lbrace u + v \,\ | \,\, (u \,;\, v) \in E \times F \right\rbrace$$
Evidemment $$E + F$$ est un sous espace vectoriel de $$V$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Définitions}}}$$
Le sous espace vectoriel $$E + F$$ s'appelle la somme des sous-espaces vectoriels $$E$$ et $$F$$.
On dit que la somme $$E + F$$ est $${\color{red}{\bf{directe}}}$$ si $$E \cap F = 0_V$$. Dans ce cas et uniquement dans ce cas on note ceci par l'écriture $${\color{red}{E \oplus F}}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Conséquences}}}$$
Les propositions suivantes sont équivalente :
$$1 \,\ - \,\,$$ la somme $$E + F$$ est directe ;
$$2 \,\ - \,\,$$ pour tout $$x$$ appartenant à la somme $$E + F$$, il existe $${\color{red}{\bf{un \,\ unique \,\, couple}}}$$ $$(u \,;\, v) \in E \times F$$ tel que $$x= u+v$$.
$$\looparrowright \,\,$$ Par exemple si $$E = (x \,;\, 0 \,\;\, 0)$$ avec $$x \in \mathbb{R}$$ qui est un sous espace vectoriel de $$\mathbb{R}^3$$ et $$F = (0 \,;\, y \,\;\, z)$$ avec $$(y\,;\,y) \in \mathbb{R}^2$$ qui est un aussi sous espace vectoriel de $$\mathbb{R}^3$$ alors on a clairement $$E + F = (x \,;\, y \,\;\, z)$$ avec $$(y\,;\,y) \in \mathbb{R}^3$$, donc $$E \oplus F = \mathbb{R}^3$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, Cas \,\, de \,\, la \,\ dimension \,\ finie}}}$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Résultat \,\, important}}}$$
Soient $$p$$ et $$q$$ deux nombres entiers naturels non nuls. On suppose que :
$$\bullet \,\,$$ $$E$$ est engendré par les $$p$$ vecteurs $$u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p$$ de $$V$$ ;
$$\bullet \,\,$$ $$F$$ est engendré par les $$q$$ vecteurs $$u_{p+1} \,;\, \cdots \,;\, u_{p+q}$$ de $$V$$ ;
Dans ce cas la somme $$E + F$$ est engendrée par les vecteurs $$u_1 \,;\, \cdots \,;\, u_p \,\, ; \,\, u_{p+1} \,;\, \cdots \,;\, u_{p+q}$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Théorème }}}$$
On supposse que $$\dim V = n \geqslant 2$$. On suppose également que le sous-espace vectoriel $$E$$, de $$V$$, est munie d'une base $$(e_1 \,;\, \cdots \,;\, e_p)$$ et que le sous-espace vectoriel $$F$$, de $$V$$, est munie d'une base $$(e_{p+1} \,;\, \cdots \,;\, e_{p+q})$$. Alors les énoncés suivants sont parfaitement équivalents :
$$1 \,\ - \,\,$$ les sous-espaces vectoriels $$E$$ et $$F$$ sont supplémentaires dans $$V$$.
$$2 \,\ - \,\,$$ la famille $$(e_1 \,;\, \cdots \,;\, e_p \,;\, e_{p+1} \,;\, \cdots \,;\, e_{p+q})$$ est une base de $$V$$.
$$3 \,\ - \,\,$$ on a $$\left\lbrace \begin{array}{rcl} E \cap F & = & 0_V \\ \dim E + \dim F & = & \dim V \end{array} \right.$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Conséquence}}}$$
Si l'espace vectoriel $$V$$ est de dimension finie alors tout sous-espace vectoriel $$E$$, de $$V$$, possède au moins un supplémentaire.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Méthode}}}$$
Pour déterminer un supplémentaire $$F$$ d'un sous-espace vectoriel $$E$$ d'un espace vectoriel $$V$$ de dimension finie non nulle, on procède de la manière suivante :
$${\color{Green}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sphericalangle \,\, Etape \,\, 1}}}$$
On cherche une base $$(e_1 \,;\, \cdots \,;\, e_p)$$ de $$E$$.
$${\color{Green}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sphericalangle \,\, Etape \,\, 2}}}$$
On complète la base $$(e_1 \,;\, \cdots \,;\, e_p)$$ de $$E$$ par des vecteurs $$(e_{p+1} \,;\, \cdots \,;\, e_{p+q})$$ de $$V$$ de façon à obtenir une base $$(e_1 \,;\, \cdots \,;\, e_p \,;\, e_{p+1} \,;\, \cdots \,;\, e_{p+q})$$ de $$V$$.
$${\color{Green}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \sphericalangle \,\, Etape \,\, 3 : \,\ conclusion}}}$$
le sous-espace vectoriel $$F$$ engendré par $$e_{p+1} \,;\, \cdots \,;\, e_{p+q}$$ est un supplémentaire de $$E$$ dans $$V$$.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Remarque}}}$$
Si $$E$$ est un sous-espace vectoriel de $$V$$ différent de $$à_V$$ alors il n'y a pas unicité d'un supplémentaire de $$E$$ dans $$V$$. Le sous-espace vectoriel $$E$$ admet une infinité de supplémentaires.
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Exemple \,\, classique}}}$$
On considère, dans $$\mathbb{R}^2$$, les droites vectorielles :
$$\mathcal{D}_1 = \left\lbrace (x \,;\, y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, 2x - y = 0 \right\rbrace$$ dont un vecteur directeur est $$e_1 = (1\,;\,2)$$ ;
et
$$\mathcal{D}_2 = \left\lbrace (x \,;\, y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, 3x + 6y = 0 \right\rbrace$$ dont un vecteur directeur est $$e_2 = (-6\,;\,3)$$
Ces deux droites $$\mathcal{D}_1$$ et $$\mathcal{D}_2$$ sont supplémentaires de la droite $$\mathcal{D}_3 = \left\lbrace (x \,;\, y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x - y = 0 \right\rbrace$$ dont un vecteur directeur est $$e_3 = (1\,;\,1)$$. En effet, les ensembles $$(e_1 \,;\, e_3)$$ et $$(e_2 \,;\, e_3)$$ sont deux bases de $$\mathbb{R}^2$$. Et de fait on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathcal{D}_1 \oplus \mathcal{D}_3 & = & \mathbb{R}^2 \\ \mathcal{D}_2 \oplus \mathcal{D}_3 & = & \mathbb{R}^2 \\ \end{array} \right.$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Théorème \,\, de \,\, Grassmann}}}$$
Soit $$V$$ un espace vectoriel sur $$\mathbb{R}$$. Soient $$E$$ et $$F$$ deux sous-espaces vectoriels de dimensions finies dans $$V$$. Dans ce cas la somme $$E + F$$ est de dimension finie et on a :
$$\dim (E + F) = \dim E + \dim F - \dim (E \cap F)$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Généralisation}}}$$
On dit que les trois sous-espaces vectoriels $$E_1$$, $$E_2$$ et $$E_3$$ de $$V$$ sont en somme directe si :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} E_1 \cap (E_2 + E_3) & = & 0_V \\ E_2 \cap (E_1 + E_3) & = & 0_V \\ E_3 \cap (E_1 + E_2) & = & 0_V \end{array} \right.$$
On écrit alors cette somme comme $$E_1 \oplus E_2 \oplus E_3$$ et on dit que $$V$$ est la somme directe des trois sous-espaces vectoriels $$E_1$$, $$E_2$$ et $$E_3$$ : $$V = E_1 \oplus E_2 \oplus E_3$$
Ceci se généralise au cas de $$i$$ sous-espaces vectoriels. On dit que les $$k$$ sous-espaces vectoriels $$E_1, \,\, E_2, \,\, \cdots \, , E_k$$ de $$V$$ sont en somme directe si :
$$\forall i \in (1 \,;\, \cdots \,;\, k), \,\, E_i \cap \left( \sum_{j=1 \,;\, j \neq i}^{k} E_j \right) = 0_V$$
Et on écrira :
$$V = \bigoplus_{j=1}^{k} E_j$$
$${\color{blue}{\bf{\,\,\,\,\,\,\,\blacktriangleright \,\, Retour \,\, sur \,\, l'exemple \,\, classique}}}$$
On considère, dans $$\mathbb{R}^2$$, les droites vectorielles :
$$\mathcal{D}_1 = \left\lbrace (x \,;\, y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, 2x - y = 0 \right\rbrace$$ dont un vecteur directeur est $$e_1 = (1\,;\,2)$$ ;
et
$$\mathcal{D}_2 = \left\lbrace (x \,;\, y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, 3x + 6y = 0 \right\rbrace$$ dont un vecteur directeur est $$e_2 = (-6\,;\,3)$$
Ces deux droites $$\mathcal{D}_1$$ et $$\mathcal{D}_2$$ sont supplémentaires de la droite $$\mathcal{D}_3 = \left\lbrace (x \,;\, y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x - y = 0 \right\rbrace$$ dont un vecteur directeur est $$e_3 = (1\,;\,1)$$. En effet, les ensembles $$(e_1 \,;\, e_3)$$ et $$(e_2 \,;\, e_3)$$ sont deux bases de $$\mathbb{R}^2$$. Et de fait on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathcal{D}_1 \oplus \mathcal{D}_3 & = & \mathbb{R}^2 \\ \mathcal{D}_2 \oplus \mathcal{D}_3 & = & \mathbb{R}^2 \\ \end{array} \right.$$
Mais on a aussi :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \mathcal{D}_1 \oplus \mathcal{D}_2 & = & 0_{\mathbb{R}^2} \\ \mathcal{D}_1 \oplus \mathcal{D}_3 & = & 0_{\mathbb{R}^2} \\ \mathcal{D}_2 \oplus \mathcal{D}_3 & = & 0_{\mathbb{R}^2} \\ \end{array} \right.$$
Mais pour autant on a $$( \mathcal{D}_1 + \mathcal{D}_2 ) \cap \mathcal{D}_3 =\mathcal{D}_3 \neq 0_{\mathbb{R}^2}$$.
Il faut toujours prendre le temps de vérifier l'ensemble des conditions !