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Maitriser les sommes de sous espaces vectoriels - Exercice 3

30 min
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On désigne par E\mathcal{E} le R\mathbb{R}-espace vectoriel constitué des fonctions numériques réelles continues sur l'intervalle [a ; b]⊂R[a\,;\,b] \subset \mathbb{R}, avec a<ba<b.
On considère la famille F⊂E\mathcal{F} \subset \mathcal{E} constituée de l'ensemble des fonctions numériques ff telles que, ∀x∈[a ; b]\forall x \in [a\,;\,b], on a :
∫abf(x) dx=0\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 0
On note par G⊂E\mathcal{G} \subset \mathcal{E} l'ensemble des fonctions numériques constantes kk sur l'intervalle [a ; b][a\,;\,b].
Question 1

Rappeler la définition associée à '' deux sous espaces vectoriels supplémentaires ''.

Correction
    Deux sous espaces vectoriels FF et GG d'un R\mathbb{R}-espace vectoriel EE sont des sous-espaces vectoriels qualifiés de suppleˊmentaires\bf{supplémentaires} dans EE si et seulement si tout élément de EE s'écrit d'une manière unique\bf{unique} comme la somme d'un élément de FF et d'un élément de GG. On note cela F⊕G=EF \oplus G = E.
    On doit alors vérifier les deux conditions suivantes :
    ∙  F∩G=0E\bullet \,\, F \cap G = 0_E ;
    ∙∙  F+G=E\bullet \bullet \,\, F + G = E.
Question 2

Proposer un schéma illustrant que deux sous espaces vectoriels supplémentaires l'un de l'autre.

Correction
On a le schéma suivant :
Question 3

Démontrer que F\mathcal{F} et G\mathcal{G} sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires dans E\mathcal{E}, autrement dit que : F⊕G=E\mathcal{F} \oplus \mathcal{G} = \mathcal{E}

Correction
La démonstration s'articule en deux actes.
↪  Acte  1:  L′intersection\hookrightarrow \,\, \bf{Acte \,\, 1 :\,\, L'intersection}
Soit k∈G⊂Ek \in \mathcal{G} \subset \mathcal{E} une fonction numérique constante. Dans ce cas, de part la définition de la famille F∈E\mathcal{F} \in \mathcal{E}, on a :
∫abk dx=0   ⟺   k∫ab dx=0   ⟺   k (b−a)=0   ⟹   k=0   ⟺   k=0E\int_{a}^{b} k \, dx = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, k \int_{a}^{b} \, dx = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, k \, (b-a) = 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, k = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, k = 0_\mathcal{E}
Soit :
F∩G=0E\mathcal{F} \cap \mathcal{G} = 0_\mathcal{E}
↪  Acte  2:  La  somme\hookrightarrow \,\, \bf{Acte \,\, 2: \,\, La \,\ somme}
Soit hh un élément quelconque de E\mathcal{E}, et notons hˉ[a ; b]\bar{h}_{[a\,;\,b]}, avec a<ba<b, sa valeur moyenne sur l'intervalle [a ; b][a\,;\,b]. Donc hˉ[a ; b]∈G\bar{h}_{[a\,;\,b]} \in \mathcal{G}. On a alors :
hˉ[a ; b]=1b−a∫abh(x) dx\bar{h}_{[a\,;\,b]} = \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} h(x) \, dx
Ainsi, on peut écrire que :
1b−a∫abh(x) dx−hˉ[a ; b]=0   ⟺   1b−a∫abh(x) dx−hˉ[a ; b]b−ab−a=0\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} h(x) \, dx - \bar{h}_{[a\,;\,b]} = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} h(x) \, dx - \bar{h}_{[a\,;\,b]} \dfrac{b-a}{b-a} = 0
Comme a≠ba\neq b, on a alors :
∫abh(x) dx−hˉ[a ; b](b−a)=0   ⟺   ∫abh(x) dx−hˉ[a ; b]∫ab dx=0\int_{a}^{b} h(x) \, dx - \bar{h}_{[a\,;\,b]}(b-a) = 0 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_{a}^{b} h(x) \, dx - \bar{h}_{[a\,;\,b]} \int_{a}^{b} \, dx = 0
Soit :
∫abh(x) dx−∫abhˉ[a ; b] dx   ⟺   ∫ab(h(x)−hˉ[a ; b]) dx=0\int_{a}^{b} h(x) \, dx - \int_{a}^{b} \bar{h}_{[a\,;\,b]} \, dx \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, \int_{a}^{b} \left( h(x) - \bar{h}_{[a\,;\,b]} \right) \, dx = 0
Ce qui implique que :
h(x)−hˉ[a ; b]∈Fh(x) - \bar{h}_{[a\,;\,b]} \in \mathcal{F}
Dès lors, on peut écrire que :
[h(x)−hˉ[a ; b]]+[hˉ[a ; b]]=h\left[ h(x) - \bar{h}_{[a\,;\,b]} \right] + \left[ \bar{h}_{[a\,;\,b]} \right] = h
Ce qui prouve que :
F+G=E\mathcal{F} + \mathcal{G} = \mathcal{E}
▶  Conclusion:\blacktriangleright\,\, \bf{Conclusion :}
D'après la définition de la première question, nous avons donc démontrer que F\mathcal{F} et G\mathcal{G} sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires dans E\mathcal{E}, autrement dit que :
F⊕G=E\mathcal{F} \oplus \mathcal{G} = \mathcal{E}

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