Maitriser les sommes de sous espaces vectoriels - Exercice 2

L'application $$\varphi$$ va de $$\mathcal{E}$$ dans $$\mathcal{E}$$. Il nous reste à vérifier que $$\varphi$$ est bien une application linéaire. On a déjà :
$$\varphi(0) = 0 + 0' = 0 + 0 = 0$$
Soit $$(f\,;\,g) \in \mathcal{E}^2$$ et $$\lambda \in \mathbb{R}$$.
On a alors la combinaison linéaire $$f + \lambda g \in \mathcal{E}$$. Ce qui nous permet d'écrire :
$$\varphi(f + \lambda g) = (f + \lambda g) + (f + \lambda g)' = f + \lambda g + f' + \lambda g' = f+f' + \lambda (g+g')$$
Soit :
$$\varphi(f + \lambda g) = \varphi(f) + \lambda \varphi(g)$$
Donc $$\varphi$$ est une application linéaire, et de fait $$\varphi$$ est un endomorphisme de $$\mathcal{E}$$.

On a :
$$\ker \varphi = \left\lbrace f \in \mathcal{E}, \,\, f+f'=0 \right\rbrace$$. Ce qui nous donne $$f(x) = C \, e^{-x}$$. Ainsi :
$$\ker \varphi =\left\lbrace f \in \mathcal{E}, \,\, x\in\mathbb{R}, \,\, f(x) = \mathrm{Vect}_\mathbb{R}(e^{-x}) \right\rbrace$$

Soit $$f \in \mathcal{E}$$, tel que $$g = \mathrm{Im} \,\varphi$$. Dans ce cas, il existe $$f \in \mathcal{E}$$ qui vérifie $$f' + f = g$$. Utilisons la méthode de $$\textit{la variation de la constante}$$. On obtient alors :
$$\forall x \in \mathbb{R}, \,\, f(x) = C\, e^{-x} + e^{-x} \int_0^x g(t) \, e^t \, dt \,\,\,\,\,\, \mathrm{avec} \, : C \in \mathbb{R}$$
On constate que quelque soit $$g \in \mathcal{E}$$, l'antécédent $$f$$ existe bien dans $$\mathcal{E}$$. Ainsi, on a :
$$\mathrm{Im} \, \varphi = \mathcal{E}$$

On rappelle que :
$$\textit{deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel sont supplémentaires dans cet espace si tout vecteur }$$
$$\textit{de l'espace se décompose \textbf{de façon unique} en une somme de vecteurs de chacun des deux sous-espaces.}$$
Or, on a :
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl} \ker \varphi & = & \mathrm{Vect}_\mathbb{R}(e^{-x}) \\ \mathrm{Im} \, \varphi & = & \mathcal{E} \end{array} \right.$$
Il n'est donc pas possible d'écrire que $$\ker \varphi \oplus \mathrm{Im} \, \varphi = \mathcal{E}$$. Donc ces deux sous-espaces propres ne sont pas supplémentaires l'un de l'autre dans $$\mathcal{E}$$ car $$\textbf{la décomposition n'est pas unique}$$.