Exercice 1 - Exercice 1

Proposons une résolution "matricielle" de la question.
Si on range les vecteurs $$v_1$$, $$v_2$$ et $$v_3$$ en ligne on obtient :
$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 & -3 \\ 2 & 3 & 1 & -4 \\ 3 & 8 & -3 & -5 \end{pmatrix}$$
Si on effectue les transformations $$L_2 \longleftarrow L_2 - 2L_1$$ et $$L_3 \longleftarrow L_3 - 3L_1$$ alors on obtient :
$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 & -3 \\ 0 & 7 & -9 & 2 \\ 0 & 14 & -18 & 4 \end{pmatrix}$$
Effectuons maintenant la transformation $$L_3 \longleftarrow L_3 - 2L_2$$ et l'on obtient alors :
$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 & -3 \\ 0 & 7 & -9 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
La dernière ligne émane des transformations qui se traduisent par :
$$L_3 \longleftarrow L_3 - 3L_1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, L_3 \leftrightsquigarrow v_3 - 3v_1$$
Puis
$$L_3 \longleftarrow L_3 - 2L_2 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, L_3 \leftrightsquigarrow (v_3 - 3v_1) - 2(v_2 - 2v_1) \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, L_3 \leftrightsquigarrow v_1 - 2v_2 + v_3$$
On a donc :
$$v_1 - 2v_2 + v_3 = 0$$
De fait la famille vectorielle $$(v_1 \,;\, v_2 \,;\, v_3)$$ est liée.
La deuxième ligne de la matrice correspond à :
$$L_2 \longleftarrow L_2 - 2L_1 \,\,\, \Longleftrightarrow \,\,\, L_2 \leftrightsquigarrow v_2 - 2v_1$$
On va donc pouvoir écrire :
$$V = \mathrm{Vect}(v_1 \,;\, v_2 \,;\, v_3) = \mathrm{Vect}(v_1 \,;\, v_2 - 2v_1 \,;\, v_1 - 2v_2 + v_3) = \mathrm{Vect}(v_1 \,;\, v_2 - 2v_1 \,;\,0)$$
Soit :
$$V = \mathrm{Vect}(v_1 \,;\, v_2 - 2v_1 )$$
Donc les deux vecteurs $$v_1$$ et $$v_2 - 2v_1$$ engendrent $$V$$. Autrement dit, les deux vecteurs $$(1 \,;\, -2 \,;\, 5 \,;\, -3)$$ et $$(0 \,;\, 7 \,;\, -9 \,;\, 2)$$ engendrent $$V$$.
Vérifions si ces deux vecteurs sont libres dans $$\mathbb{R}^4$$.
Soient $$\lambda_1$$ et $$\lambda_2$$ deux nombres réels. On a :
$$\lambda_1(1 \,;\, -2 \,;\, 5 \,;\, -3) + \lambda_2(0 \,;\, 7 \,;\, -9 \,;\, 2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, (\lambda_1 \,;\, -2\lambda_1 \,;\, 5\lambda_1 \,;\, -3\lambda_1) + (0 \,;\, 7\lambda_2 \,;\, -9\lambda_2 \,;\, 2\lambda_2) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)$$
Soit :
$$(\lambda_1 \,;\, -2 \lambda_1 + 7\lambda_2 \,;\, 5\lambda_1 - 9\lambda_2 \,;\, -3 \lambda_1 + 2\lambda_2) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)$$
De suite on a $$\lambda_1 = 0$$ et ce qui implique que $$\lambda_2 = 0$$. Donc :
$$\lambda_1(1 \,;\, -2 \,;\, 5 \,;\, -3) + \lambda_2(0 \,;\, 7 \,;\, -9 \,;\, 2) = 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lambda_1 = \lambda_2 = 0$$
Ainsi les deux vecteurs $$(1 \,;\, -2 \,;\, 5 \,;\, -3)$$ et $$(0 \,;\, 7 \,;\, -9 \,;\, 2)$$ sont libre dans $$\mathbb{R}^4$$.
En conclusion, on peut affirmer que les deux vecteurs $$(1 \,;\, -2 \,;\, 5 \,;\, -3)$$ et $$(0 \,;\, 7 \,;\, -9 \,;\, 2)$$ forment une base de $$V$$.

La base de $$V$$ précédente est formée de $$2$$ vecteurs, donc on a :

On sait que $$\dim (\mathbb{R}^4) = 4$$.
Notons par :
$$\bullet \,\, e_1 = (1 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)$$ ;
$$\bullet \bullet \,\, e_2 = (0 \,;\, 1 \,;\, 0 \,;\, 0)$$ ;
$$\bullet \bullet \bullet \,\, e_3 = (0 \,;\, 0 \,;\, 1 \,;\, 0)$$ ;
$$\bullet \bullet \bullet \bullet \,\, e_4 = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 1)$$.
Il s'agit des quatre vecteurs de la base canonique de $$\mathbb{R}^4$$.
Nous allons compléter la famille vectorielle $$(1 \,;\, -2 \,;\, 5 \,;\, -3)$$ et $$(0 \,;\, 7 \,;\, -9 \,;\, 2)$$, qui forme une base de $$V$$, par deux vecteurs de la base canonique de $$\mathbb{R}^4$$ écris précédemment.
Choisissons $$e_3$$ et $$e_4$$. On a alors la famille vectorielle suivante :
$$F = \left( (1 \,;\, -2 \,;\, 5 \,;\, -3) \,;\, (0 \,;\, 7 \,;\, -9 \,;\, 2) \,;\, (0 \,;\, 0 \,;\, 1 \,;\, 0) \,;\, (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 1) \right)$$
Si la famille $$F$$ est libre alors elle sera une famille libre maximale et de fait elle sera une base de $$\mathbb{R}^4$$.
Soient $$\lambda_1$$, $$\lambda_2$$, $$\lambda_3$$ et $$\lambda_4$$ quatre nombres réels. On a :
$$\lambda_1(1 \,;\, -2 \,;\, 5 \,;\, -3) + \lambda_2(0 \,;\, 7 \,;\, -9 \,;\, 2) + \lambda_3(0 \,;\, 0 \,;\, 1 \,;\, 0) + \lambda_4(0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 1) = 0_{\mathbb{R}^4}$$
Soit :
$$(\lambda_1 \,;\, -2\lambda_1 \,;\, 5\lambda_1 \,;\, -3\lambda_1) + (0 \,;\, 7\lambda_2 \,;\, -9\lambda_2 \,;\, 2\lambda_2) + (0 \,;\, 0 \,;\, \lambda_3 \,;\, 0) + (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, \lambda_4) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)$$
Soit encore :
$$(\lambda_1 \,;\, -2 \lambda_1 + 7\lambda_2 \,;\, 5\lambda_1 - 9\lambda_2 + \lambda_3 \,;\, -3 \lambda_1 + 2\lambda_2 + \lambda_4) = (0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 0)$$
De suite, on a $$\lambda_1 = 0$$, ce qui entraine que $$\lambda_2 = 0$$, puis $$\lambda_3 = 0$$ et enfin $$\lambda_4 = 0$$.
$$\lambda_1(1 \,;\, -2 \,;\, 5 \,;\, -3) + \lambda_2(0 \,;\, 7 \,;\, -9 \,;\, 2) + \lambda_3(0 \,;\, 0 \,;\, 1 \,;\, 0) + \lambda_4(0 \,;\, 0 \,;\, 0 \,;\, 1)= 0_{\mathbb{R}^4} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda_4 = 0$$
Donc les quatre vecteurs constitutifs de la famille $$F$$ sont libres. Ce qui implique que cette famille est une famille libre maximale et de fait elle est une base de $$\mathbb{R}^4$$.
Donc :