Déterminer une base du noyau d'une application linéaire - Exercice 2

On a :
$$\left(x,y\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow f\left(x,y\right)=\left(0,0,0\right)$$
Soit :
$$\left(x,y\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow \left\lbrace (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, (x+y \,;\, 2(x+y) \,;\, 3(x+y)) = (0\,;\,0\,;\,0) \right\rbrace$$
Ainsi :
$$\left(x,y\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow \left\lbrace (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x+y = 0 \,;\, 2(x+y) = 0 \,;\, 3(x+y) = 0 \right\rbrace$$
Donc :
$$\left(x,y\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow \left\lbrace (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x+y = 0 \right\rbrace$$
Ce qui nous donne :
$$\left(x,y\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow \left\lbrace (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, y = -x \right\rbrace$$
Ce qui nous permet d'écrire que :
$$\left(x,y\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow \left\lbrace (x\,;\,-x) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x \in \mathbb{R} \right\rbrace$$
Finalement :
$$\left(x,y\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow \left\lbrace x(1\,;\,-1) \in \mathbb{R}^2 \,\, | \,\, x \in \mathbb{R} \right\rbrace$$
$$\mathrm{Ker}\left(f\right)=\mathrm{Vect}\left\{\left(1;-1\right)\ \right\}$$
En conclusion, le noyau de l'application linéaire $$f$$ est la droite vectorielle du plan $$\mathbb{R}^2$$ qui admet $$(1\,;\,-1)$$ comme vecteur directeur.