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Déterminer une base du noyau d'une application linéaire - Exercice 1

10 min
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Question 1

Soit ff l’application linéaire définie par f:{R3⟶R2(x,y,z)⟼(3x,y+2z)f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}^3 & \longrightarrow & {\mathbb{R}}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(3x,y+2z\right) \end{array}\right.
Déterminer une base du noyau de ff.

Correction
    Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels et ff une application linéaire de EE dans FF.
    Le noyau de ff, noté Ker(f)\mathrm{Ker}\left(f\right), est l'ensemble des éléments de EE dont l'image est 0F0_F.
    On écrit alors : Ker(f)={x∈E ,  f(x)=0F}\mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{x\in E\ ,\ \ f\left(x\right)=0_F\right\}.
(x,y,z)∈Ker(f)⟺f(x,y,z)=(0,0)\left(x,y,z\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow f\left(x,y,z\right)=\left(0,0\right)
                               ⟺{3x=0y+2z=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}3x & = & 0 \\ y+2z & = & 0 \end{array}\right.
                               ⟺{x=0y=−2z\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}x & = & 0 \\ y & = & -2z \end{array}\right.
                               ⟺(x,y,z)=(0,−2z,z) ,   z∈R\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left(x,y,z\right)=\left(0,-2z,z\right)\ ,\ \ \ z\in \mathbb{R}
Ainsi :
Ker(f)={(0,−2z,z) , z∈R}⟺Ker(f)={z(0,−2,1) , z∈R}\mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{\left(0,-2z,z\right)\ ,\ z\in \mathbb{R}\right\}\Longleftrightarrow \mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{z\left(0,-2,1\right)\ ,\ z\in \mathbb{R}\right\}
                                                      ⟺Ker(f)=Vect{(0,−2,1) }\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\Longleftrightarrow \mathrm{Ker}\left(f\right)=\mathrm{Vect}\left\{\left(0,-2,1\right)\ \right\}
Comme (0,−2,1)≠(0,0,0){\left(0,-2,1\right)}\ne\left(0,0,0\right) ainsi le vecteur est une base du noyau de ff .
Question 2

Soit ff l’application linéaire définie par f:{R3⟶R2(x,y,z)⟼(x+y+z,2x−y)f:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}^3 & \longrightarrow & {\mathbb{R}}^2 \\ \left(x,y,z\right) & \longmapsto & \left(x+y+z,2x-y\right) \end{array}\right.
Déterminer une base du noyau de ff.

Correction
    Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels et ff une application linéaire de EE dans FF.
    Le noyau de ff, noté Ker(f)\mathrm{Ker}\left(f\right), est l'ensemble des éléments de EE dont l'image est 0F0_F.
    On écrit alors : Ker(f)={x∈E ,  f(x)=0F}\mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{x\in E\ ,\ \ f\left(x\right)=0_F\right\}.
(x,y,z)∈Ker(f)⟺f(x,y,z)=(0,0)\left(x,y,z\right)\in \mathrm{Ker}\left(f\right)\Longleftrightarrow f\left(x,y,z\right)=\left(0,0\right)
                               ⟺{x+y+z=02x−y=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}x+y+z & = & 0 \\ 2x-y & = & 0 \end{array}\right.
                               ⟺{x+y+z=0y=2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}x+y+z & = & 0 \\ y & = & 2x \end{array}\right.
                               ⟺{x+2x+z=0y=2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}x+2x+z & = & 0 \\ y & = & 2x \end{array}\right.
                               ⟺{z=−3xy=2x\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ccc}z & = & -3x \\ y & = & 2x \end{array}\right.
                               ⟺(x,y,z)=(x,2x,−3x) ,   x∈R\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow \left(x,y,z\right)=\left(x,2x,-3x\right)\ ,\ \ \ x\in \mathbb{R}
Ainsi :
Ker(f)={(x,2x,−3x) , x∈R}⟺Ker(f)={x(1,2,−3) , x∈R}\mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{\left(x,2x,-3x\right)\ ,\ x\in \mathbb{R}\right\}\Longleftrightarrow \mathrm{Ker}\left(f\right)=\left\{x\left(1,2,-3\right)\ ,\ x\in \mathbb{R}\right\}
                                                      ⟺Ker(f)=Vect{(1,2,−3) }\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\Longleftrightarrow \mathrm{Ker}\left(f\right)=\mathrm{Vect}\left\{\left(1,2,-3\right)\ \right\}
Comme (1,2,−3)≠(0,0,0){\left(1,2,-3\right)\ne\left(0,0,0\right)} ainsi le vecteur (1,2,−3){\left(1,2,-3\right)} est une base du noyau de ff .

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