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Déterminer une base de l'image d'une application linéaire - Exercice 2

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Question 1

Soit ff une application linéaire de R2\mathbb{R}^2 dans R3\mathbb{R}^3 tel que f(x ; y)=(x+y ; 2(x+y) ; 3(x+y))f(x\,;\,y) = (x+y \,;\, 2(x+y) \,;\, 3(x+y)).
Déterminer l'image de ff.

Correction
On a :
Im(f)=f(R2)={f(u)∈R3  ∣  u∈R2}\mathrm{Im}(f) = f(\mathbb{R}^2) = \left\lbrace f(u) \in \mathbb{R}^3 \,\, | \,\, u \in \mathbb{R}^2 \right\rbrace
Donc :
Im(f)={f(x ; y)∈R3  ∣  (x ; y)∈R2}\mathrm{Im}(f) = \left\lbrace f(x\,;\,y) \in \mathbb{R}^3 \,\, | \,\, (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2 \right\rbrace
Soit :
Im(f)={(x+y ; 2(x+y) ; 3(x+y))∈R3  ∣  (x ; y)∈R2}\mathrm{Im}(f) = \left\lbrace (x+y \,;\, 2(x+y) \,;\, 3(x+y)) \in \mathbb{R}^3 \,\, | \,\, (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2 \right\rbrace
Soit encore :
Im(f)={(x+y)(1 ; 2 ; 3)∈R3  ∣  (x ; y)∈R2}\mathrm{Im}(f) = \left\lbrace (x+y) ( 1 \,;\, 2 \,;\, 3 ) \in \mathbb{R}^3 \,\, | \,\, (x\,;\,y) \in \mathbb{R}^2 \right\rbrace
Im(f)=Vect{(1;2;3)}\mathrm{Im}\left(f\right)=\mathrm{Vect}\left\{\left(1;2;3\right)\right\}

En conclusion, Im(f)\mathrm{Im}(f) est la droite vectorielle de R3\mathbb{R}^3 qui est engendrée par le vecteur (1 ; 2 ; 3)( 1 \,;\, 2 \,;\, 3 ).

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