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Déterminer qu'une famille est liée - Exercice 1

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Question 1

La famille ((1,1,0);(0,1,1);(1,2,1))\left(\left(1,1,0\right);\left(0,1,1\right);\left(1,2,1\right)\right) est-elle une famille liée de R3\mathbb{R}^3 .

Correction
  • Soit EE un K\mathbb{K} espace vectoriel, une famille de vecteurs de EE est liée si elle n'est pas libre.
    La famille (e1,e2,⋯ ,en)\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right) est liée si elle n'est pas libre. La famille (e1,e2,⋯ ,en)\left(e_1,e_2,\cdots ,e_n\right) de vecteurs EE est donc liée s'il existe une combinaison linéaire des vecteurs de cette famille égal au vecteur 0E0_E dont l'un au moins des coefficients est non nul.
    Autrement dit :
    ∃(λ1,λ2,⋯ ,λn)∈Kn, ∑i=1nλiei=0E et ∃i∈[[1,n]], λi≠0\exists \left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\right)\in \mathbb{K}^n,\ \sum^n_{i=1}{{\lambda }_ie_i=0_E}\ \text{et} \ \exists i\in \left[\left[1,n\right]\right],\ {\lambda }_i\neq 0
Soient λ1,λ2{\lambda }_1,{\lambda }_2 et λ3{\lambda }_3 trois réels tels que :
λ1(1,1,0)+λ2(0,1,1)+λ3(1,2,1)=(0,0,0){\lambda }_1\left(1,1,0\right)+{\lambda }_2\left(0,1,1\right)+{\lambda }_3\left(1,2,1\right)=\left(0,0,0\right)
(λ1,λ1,0)+(0,λ2,λ2)+(λ3,2λ3,λ3)=(0,0,0)\left({\lambda }_1,{\lambda }_1,0\right)+\left(0,{\lambda }_2,{\lambda }_2\right)+\left({\lambda }_3,2{\lambda }_3,{\lambda }_3\right)=\left(0,0,0\right)
{λ1+λ3=0λ1+λ2+2λ3=0λ2+λ3=0\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_1+{\lambda }_3 & = & 0 \\ {\lambda }_1+{\lambda }_2+2{\lambda }_3 & = & 0 \\ {\lambda }_2+{\lambda }_3 & = & 0 \end{array}\right.
{λ1=−λ3−λ3+λ2+2λ3=0λ2+λ3=0\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_1 & = & -{\lambda }_3 \\ -{\lambda }_3+{\lambda }_2+2{\lambda }_3 & = & 0 \\ {\lambda }_2+{\lambda }_3 & = & 0 \end{array}\right.
{λ1=−λ3λ2+λ3=0λ2+λ3=0\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_1 & = & -{\lambda }_3 \\ {\lambda }_2+{\lambda }_3 & = & 0 \\ {\lambda }_2+{\lambda }_3 & = & 0 \end{array}\right.
{λ1=−λ3λ2=−λ3\left\{ \begin{array}{ccc}{\lambda }_1 & = & -{\lambda }_3 \\ {\lambda }_2 & = & -{\lambda }_3 \end{array}\right.
Il en résulte donc que : (1,1,0)+(0,1,1)=(1,2,1)\left(1,1,0\right)+\left(0,1,1\right)=\left(1,2,1\right) .
La famille ((1,1,0);(0,1,1);(1,2,1))\left(\left(1,1,0\right);\left(0,1,1\right);\left(1,2,1\right)\right) est une famille liée de R3\mathbb{R}^3 .
  • Lorsqu'une famille de vecteurs est liée, on dit que les vecteurs de cette famille sont linéairement dépendants.