Déterminer qu'une famille est génératrice - Exercice 1

$$\forall u=\left(x,y\right)\in {\mathbb{R}}^2$$, existe-t-il trois réels $$\alpha ,\beta$$ et $$\gamma$$ tels que : $$\alpha \left(0,3\right)+\beta \left(1,2\right)+\gamma \left(-2,4\right)=\left(x,y\right)$$ .
Il vient alors que :
$$\alpha \left(0,3\right)+\beta \left(1,2\right)+\gamma \left(-2,4\right)=\left(x,y\right)$$
$$\left(0,3\alpha \right)+\left(\beta ,2\beta \right)+\left(-2\gamma ,4\gamma \right)=\left(x,y\right)$$
$$\left(\beta -2\gamma ,3\alpha +2\beta +4\gamma \right)=\left(x,y\right)$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta -2\gamma & = & x \\ 3\alpha +2\beta +4\gamma & = & y \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta & = & x+2\gamma \\ 3\alpha +2\left(x+2\gamma \right)+4\gamma & = & y \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta & = & x+2\gamma \\ 3\alpha +2x+4\gamma +4\gamma & = & y \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta & = & x+2\gamma \\ 3\alpha +2x+8\gamma & = & y \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta & = & x+2\gamma \\ \alpha & = & \frac{y-2x-8\gamma }{3} \end{array}\right.$$
Nous allons par exemple ici fixer $$\gamma=0$$ . Mais nous aurions pu prendre une autre valeur. N'oublions pas qu'il nous suffit de déterminer un triplet de réels $$\left(\alpha,\beta,\gamma\right)$$ .
Ainsi :
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta & = & x+2\times 0 \\ \alpha & = & \frac{y-2x-8\times 0}{3} \\ \gamma & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta & = & x \\ \alpha & = & \frac{y-2x}{3} \\ \gamma & = & 0 \end{array}\right.$$
$$\forall u=\left(x,y\right)\in {\mathbb{R}}^2$$, il existe trois réels $$\alpha=\frac{y-2x }{3}$$ , $$\beta=x$$ et $$\gamma=0$$ tels que : $$\alpha \left(0,3\right)+\beta \left(1,2\right)+\gamma \left(-2,4\right)=\left(x,y\right)$$ .
$$F=\left\{\left(0,3\right);\left(1,2\right);\left(-2,4\right)\right\}$$ est une famille génératrice de $${\mathbb{R}}^2$$ .

$$\forall P=aX^2+bX+c\in {\mathbb{R}}_2\left[X\right]$$, existe-t-il trois réels $$\alpha ,\beta$$ et $$\gamma$$ tels que : $$\alpha \left(X+1\right)+\beta \left(X^2+1\right)+\gamma \left(X^2+2X\right)=aX^2+bX+c$$ .
Il vient alors que :
$$\alpha X+\alpha +\beta X^2+\beta +\gamma X^2+2\gamma X=aX^2+bX+c$$
$$\beta X^2+\gamma X^2+\alpha X+2\gamma X+\alpha +\beta =aX^2+bX+c$$
$$\left(\beta +\gamma \right)X^2+\left(\alpha +2\gamma \right)X+\alpha +\beta =aX^2+bX+c$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta +\gamma & = & a \\ \alpha +2\gamma & = & b \\ \alpha +\beta & = & c \end{array}\right. \begin{array}{cc} & L_1 \\ & L_2 \\ & L_3 \end{array}$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta +\gamma & = & a \\ \alpha -2\beta & = & b-2a \\ \alpha +\beta & = & c \end{array}\right. \begin{array}{cc} & L_1 \\ & L_2\leftarrow L_2-2L_1 \\ & L_3 \end{array}$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta +\gamma & = & a \\ \alpha -2\beta & = & b-2a \\ 3\beta & = & c-b+2a \end{array}\right. \begin{array}{cc} & L_1 \\ & L_2 \\ & L_3\leftarrow L_3-L_2 \end{array}$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\beta +\gamma & = & a \\ \alpha -2\beta & = & b-2a \\ \beta & = & \frac{1}{3}\left(c-b+2a\right) \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\frac{1}{3}\left(c-b+2a\right)+\gamma & = & a \\ \alpha -2\times \frac{1}{3}\left(c-b+2a\right) & = & b-2a \\ \beta & = & \frac{1}{3}\left(c-b+2a\right) \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\gamma & = & a-\frac{1}{3}\left(c-b+2a\right) \\ \alpha & = & b-2a+2\times \frac{1}{3}\left(c-b+2a\right) \\ \beta & = & \frac{1}{3}\left(c-b+2a\right) \end{array}\right.$$
$$\left\{ \begin{array}{ccc}\gamma & = & \frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}c \\ \alpha & = & -\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c \\ \beta & = & \frac{1}{3}\left(c-b+2a\right) \end{array}\right.$$
$$\forall P=aX^2+bX+c\in {\mathbb{R}}_2\left[X\right]$$, Il existe trois réels $$\alpha=-\frac{2}{3}a+\frac{1}{3}b+\frac{2}{3}c$$ ; $$\beta=\frac{1}{3}\left(c-b+2a\right)$$ et $$\gamma= \frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b-\frac{1}{3}c$$ tels que :
$$\alpha \left(X+1\right)+\beta \left(X^2+1\right)+\gamma \left(X^2+2X\right)=aX^2+bX+c$$ .
Ainsi :
$$F=\left\{X+1;X^2+1;X^2+2X\right\}$$ est bien une famille génératrice de $${\mathbb{R}}_2\left[X\right]$$ .