Comment démontrer que $$F$$ est un sous-espace vectoriel de $$E$$ - Exercice 4

$${\color{red}{\bf{\clubsuit \,\, Premier \,\, point}}}$$
Il est évident que chaque élément de $$E$$ est une suite qui appartient à $$\mathbb{R}^\mathbb{N}$$. Donc $$E$$ est inclus dans $$\mathbb{R}^\mathbb{N}$$.
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \clubsuit \,\, Deuxième \,\, point}}}$$
La suite nulle $$\left( 0 \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ appartient à l'ensemble $$E$$. En effet :
$$\forall n \in \mathbb{N}, \,\, 0 = 3 \times 0 + 2\times 0 \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, \left( 0 \right)_{n \in \mathbb{N}} \in E$$
$${\color{red}{\bf{\clubsuit \clubsuit \clubsuit \,\, Troisième \,\, point}}}$$
Il nous faut maintenant vérifier la stabilité de la combinaison linéaire dans $$E$$.
Donc, considérons le nombre réel $$\lambda$$. Soient $$\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ et $$\left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}}$$ deux suite de l'ensemble $$E$$.
On a alors :
$$\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} + \lambda \left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, u_{n+2} + \lambda v_{n+2} = 3u_{n+1} + 2 u_n + \lambda \left( 3v_{n+1} + 2 v_n \right)$$
Soit :
$$\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} + \lambda \left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \,\,\, \Longrightarrow \,\,\, u_{n+2} + \lambda v_{n+2} = 3(u_{n+1} + \lambda v_{n+1} ) + 2 (u_n + \lambda v_n )$$
Ainsi :
$$\left( u_n \right)_{n \in \mathbb{N}} + \lambda \left( v_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \in E$$
La stabilité par la combinaison linéaire au sein de $$E$$ est démontrée.
$${\color{blue}{\bf{\bullet \,\, Conclusion}}}$$
L'ensemble $$E$$ est bien un sous-espace vectoriel de $$\mathbb{R}^\mathbb{N}$$.