Comment démontrer que $$F$$ est un sous-espace vectoriel de $$E$$ - Exercice 3

De par sa définition chaque élément de $$E$$ appartient à $$V$$. Donc :
$$E \subset V$$
L'élément nul de $$V$$ est :
$$0_V = 0_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -0 \end{pmatrix}$$
Ceci correspond au cas ou $$a=0$$ et $$b = 0$$, autrement dit à $$0_{\mathbb{R}^2}$$. De fait $$0_V = 0_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})} \in E$$.
Vérifions la stabilité de la combinaison linéaire au sein de $$E$$.
Soit $$\lambda \in \mathbb{R}$$.
Soient $$M = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \in E$$ et $$M' = \begin{pmatrix} a' & b' \\ b' & -a' \end{pmatrix} \in E$$.
On a :
$$M + \lambda M' = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a' & b' \\ b' & -a' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda a' & \lambda b' \\ \lambda b' & -\lambda a' \end{pmatrix}$$
Soit :
$$M + \lambda M' = \begin{pmatrix} a + \lambda a' & b + \lambda b' \\ b + \lambda b' & -a - \lambda a' \end{pmatrix}$$
Soit encore :
$$M + \lambda M' = \begin{pmatrix} a + \lambda a' & b + \lambda b' \\ b + \lambda b' & -(a + \lambda a') \end{pmatrix}$$
Si on pose $$A = a + \lambda a' \in \mathbb{R}$$ et $$B = b + \lambda b' \in \mathbb{R}$$ alors on a :
$$M + \lambda M' = \begin{pmatrix} A & B \\ B & -A \end{pmatrix}$$
Et on constate immédiatement que
$$M + \lambda M' \in E$$.
En conclusion, l'ensemble $$E$$ est bien un sous-espace vectoriel du $$\mathbb{R}$$-espace vectoriel $$V$$.

On a :
$$E = \left\lbrace \, M = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \,\, | \,\, (a \,;\,b) \in \mathbb{R}^2 \, \right\rbrace$$
Soit :
$$E = \left\lbrace \, M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix} \,\, | \,\, (a \,;\,b,) \in \mathbb{R}^2 \, \right\rbrace$$
Soit encore :
$$E = \left\lbrace \, M = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \,\, | \,\, (a \,;\,b) \in \mathbb{R}^2 \, \right\rbrace$$
Posons $$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$ et $$M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$, et on constate que :
$$E = \left\lbrace \, M = aM_1 + bM_2 \,\, | \,\, (a \,;\,b) \in \mathbb{R}^2 \, \right\rbrace$$
Donc $$M$$ est une combinaison linéaire de $$M_1$$ et $$M_2$$. Ainsi la famille vectorielle $$\left\lbrace \, M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \,;\, M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, \right\rbrace$$ est une famille génératrice de $$E$$. De fait on peut écrire que :
$$E = \mathrm{Vect} \left( M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \,;\, M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right)$$