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Comment démontrer que FF est un sous-espace vectoriel de EE - Exercice 3

20 min
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On désigne par EE l'ensemble suivant :
E={ (abb−a)  ∣  (a ; b)∈R2 }E = \left\lbrace \, \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \,\, | \,\, (a\,;\,b) \in \mathbb{R}^2 \, \right\rbrace
Question 1

L'ensemble EE est-il un sous-espace vectoriel du R\mathbb{R}-espace vectoriel V=M2(R)V = \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ?

Correction
De par sa définition chaque élément de EE appartient à VV. Donc :
E⊂VE \subset V
L'élément nul de VV est :
0V=0M2(R)=(0000)=(000−0)0_V = 0_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -0 \end{pmatrix}
Ceci correspond au cas ou a=0a=0 et b=0b = 0, autrement dit à 0R20_{\mathbb{R}^2}. De fait 0V=0M2(R)∈E0_V = 0_{\mathcal{M}_2(\mathbb{R})} \in E.
Vérifions la stabilité de la combinaison linéaire au sein de EE.
Soit λ∈R\lambda \in \mathbb{R}.
Soient M=(abb−a)∈EM = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \in E et M′=(a′b′b′−a′)∈EM' = \begin{pmatrix} a' & b' \\ b' & -a' \end{pmatrix} \in E.
On a :
M+λM′=(abb−a)+λ(a′b′b′−a′)=(abb−a)+(λa′λb′λb′−λa′)M + \lambda M' = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} a' & b' \\ b' & -a' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \lambda a' & \lambda b' \\ \lambda b' & -\lambda a' \end{pmatrix}
Soit :
M+λM′=(a+λa′b+λb′b+λb′−a−λa′)M + \lambda M' = \begin{pmatrix} a + \lambda a' & b + \lambda b' \\ b + \lambda b' & -a - \lambda a' \end{pmatrix}
Soit encore :
M+λM′=(a+λa′b+λb′b+λb′−(a+λa′))M + \lambda M' = \begin{pmatrix} a + \lambda a' & b + \lambda b' \\ b + \lambda b' & -(a + \lambda a') \end{pmatrix}
Si on pose A=a+λa′∈RA = a + \lambda a' \in \mathbb{R} et B=b+λb′∈RB = b + \lambda b' \in \mathbb{R} alors on a :
M+λM′=(ABB−A)M + \lambda M' = \begin{pmatrix} A & B \\ B & -A \end{pmatrix}
Et on constate immédiatement que
M+λM′∈EM + \lambda M' \in E.
En conclusion, l'ensemble EE est bien un sous-espace vectoriel du R\mathbb{R}-espace vectoriel VV.
Question 2

Déterminer une famille vectorielle génératrice de EE.

Correction
On a :
E={ M=(abb−a)∈M2(R)  ∣  (a ; b)∈R2 }E = \left\lbrace \, M = \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \,\, | \,\, (a \,;\,b) \in \mathbb{R}^2 \, \right\rbrace
Soit :
E={ M=(a00−a)+(0bb0)  ∣  (a ; b,)∈R2 }E = \left\lbrace \, M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & -a \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & b \\ b & 0 \end{pmatrix} \,\, | \,\, (a \,;\,b,) \in \mathbb{R}^2 \, \right\rbrace
Soit encore :
E={ M=a(100−1)+b(0110)  ∣  (a ; b)∈R2 }E = \left\lbrace \, M = a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + b\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \,\, | \,\, (a \,;\,b) \in \mathbb{R}^2 \, \right\rbrace
Posons M1=(100−1)∈M2(R)M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) et M2=(0110)∈M2(R)M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}), et on constate que :
E={ M=aM1+bM2  ∣  (a ; b)∈R2 }E = \left\lbrace \, M = aM_1 + bM_2 \,\, | \,\, (a \,;\,b) \in \mathbb{R}^2 \, \right\rbrace
Donc MM est une combinaison linéaire de M1M_1 et M2M_2. Ainsi la famille vectorielle { M1=(100−1) ; M2=(0110) }\left\lbrace \, M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \,;\, M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, \right\rbrace est une famille génératrice de EE. De fait on peut écrire que :
E=Vect(M1=(100−1) ; M2=(0110))E = \mathrm{Vect} \left( M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \,;\, M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right)