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Applications linéaires - Exercice 2

10 min
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Question 1

Soit ff l'application linéaire définie par f:{R[X]⟶R[X]P⟼P(X)+2P(X+1)f:\left\{ \begin{array}{ccc}\mathbb{R}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbb{R}\left[X\right] \\ P & \longmapsto &P\left(X\right)+2P\left(X+1\right) \end{array}\right.
Vérifier que ff est une application linéaire de R[X]\mathbb{R}\left[X\right] .

Correction
    Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels et ff une application de EE dans FF.
    L'application ff est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs uu et vv de EE et pour tous scalaires λ\lambda et β\beta de K\mathbb{K}, on a :
    f(λu+βv)=λf(u)+βf(v)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
L’ensemble des applications linéaires de EE dans FF est noté L(E,F)\mathscr{L}\left(E, F\right).
Soient λ\lambda et μ\mu deux réels.
Soient PP et QQ deux polynômes appartenant à R[X]\mathbb{R}\left[X\right] .
f(λP+μQ)=(λP+μQ)(X)+2(λP+μQ)(X+1)f\left(\lambda P+\mu Q\right)=\left(\lambda P+\mu Q\right)\left(X\right)+2\left(\lambda P+\mu Q\right)\left(X+1\right)
f(λP+μQ)=λP(X)+μQ(X)+2λP(X+1)+2μQ(X+1)f\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda P\left(X\right)+\mu Q\left(X\right)+2\lambda P\left(X+1\right)+2\mu Q\left(X+1\right)
f(λP+μQ)=λ(P(X)+2P(X+1))+μ(Q(X)+2Q(X+1))f\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda \left(P\left(X\right)+2P\left(X+1\right)\right)+\mu \left(Q\left(X\right)+2Q\left(X+1\right)\right)
Ainsi :
f(λP+μQ)=λf(P)+μQ(P)f\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda f\left(P\right)+\mu Q\left(P\right)

Question 2

Soit ff l'application linéaire définie par f:{R3[X]⟶R3[X]P⟼2XP′−4Pf:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}_3\left[X\right] & \longrightarrow & {\mathbb{R}}_3\left[X\right] \\ P & \longmapsto & 2XP'-4P \end{array}\right.
Vérifier que ff est un endomorphisme de R3[X]{\mathbb{R}}_3\left[X\right] .

Correction
  • On appelle endomorphisme de EE, toute application linéaire de EE dans EE .
Dans un premier temps, il faut vérifier que f(P)∈R3[X]f\left(P\right)\in {\mathbb{R}}_3\left[X\right] . Si P∈R3[X]P\in {\mathbb{R}}_3\left[X\right] alors deg(P) ≤3{\mathrm{deg} \left(P\right)\ }\le3 et deg(P′) ≤2{\mathrm{deg} \left(P'\right)\ }\le2 . Ainsi deg(2XP′) ≤3{\mathrm{deg} \left(2XP'\right)\ }\le3
Il en résulte donc que deg(2XP′−4P) ≤3{\mathrm{deg} \left(2XP'-4P\right)\ }\le 3 .
    Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels et ff une application de EE dans FF.
    L'application ff est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs uu et vv de EE et pour tous scalaires λ\lambda et β\beta de K\mathbb{K}, on a :
    f(λu+βv)=λf(u)+βf(v)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
L’ensemble des applications linéaires de EE dans FF est noté L(E,F)\mathscr{L}\left(E, F\right).
Soient λ\lambda et μ\mu deux réels.
Soient PP et QQ deux polynômes de R3[X]{\mathbb{R}}_3\left[X\right] .
f(λP+μQ)=2X(λP+μQ)′−4(λP+μQ)f\left(\lambda P+\mu Q\right)=2X{\left(\lambda P+\mu Q\right)}'-4\left(\lambda P+\mu Q\right)
f(λP+μQ)=2XλP′+2XμQ′−4λP−4μQf\left(\lambda P+\mu Q\right)=2X{\lambda P}'+2X{\mu Q}'-4\lambda P-4\mu Q
f(λP+μQ)=λ(2XP′−4P)+μ(2XQ′−4Q)f\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda \left(2XP'-4P\right)+\mu \left(2XQ'-4Q\right)
Ainsi :
f(λP+μQ)=λf(P)+μf(Q)f\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda f\left(P\right)+\mu f\left(Q\right)

Question 3

Soit ff l'application linéaire définie par f:{R2[X]⟶R2[X]P⟼3P′′−4P′+2Pf:\left\{ \begin{array}{ccc}{\mathbb{R}}_2\left[X\right] & \longrightarrow & {\mathbb{R}}_2\left[X\right] \\ P & \longmapsto & 3P''-4P'+2P \end{array}\right.
Montrer que ff est un endomorphisme de R2[X]{\mathbb{R}}_2\left[X\right] .

Correction
  • On appelle endomorphisme de EE, toute application linéaire de EE dans EE .
Dans un premier temps, il faut vérifier que f(P)∈R2[X]f\left(P\right)\in {\mathbb{R}}_2\left[X\right] . Si P∈R2[X]P\in {\mathbb{R}}_2\left[X\right] alors deg(P) ≤2{\mathrm{deg} \left(P\right)\ }\le2 ; deg(P′) ≤1{\mathrm{deg} \left(P'\right)\ }\le1 et deg(P′′) =0{\mathrm{deg} \left(P''\right)\ }=0.
Il en résulte donc que deg(3P′′−4P′+2P) ≤2{\mathrm{deg} \left(3P''-4P'+2P \right)\ }\le 2 .
    Soient EE et FF deux K\mathbb{K}-espaces vectoriels et ff une application de EE dans FF.
    L'application ff est linéaire si et seulement si, pour tous vecteurs uu et vv de EE et pour tous scalaires λ\lambda et β\beta de K\mathbb{K}, on a :
    f(λu+βv)=λf(u)+βf(v)f\left(\lambda u+\beta v\right)=\lambda f\left(u\right)+\beta f\left(v\right)
L’ensemble des applications linéaires de EE dans FF est noté L(E,F)\mathscr{L}\left(E, F\right).
Soient λ\lambda et μ\mu deux réels.
Soient PP et QQ deux polynômes appartenant à R2[X]{\mathbb{R}}_2\left[X\right] .
f(λP+μQ)=3(λP+μQ)′′−4(λP+μQ)′+2(λP+μQ)f\left(\lambda P+\mu Q\right)=3{\left(\lambda P+\mu Q\right)}''-4\left(\lambda P+\mu Q\right)'+2\left(\lambda P+\mu Q\right)
f(λP+μQ)=3λP′′+3λQ′′−4λP′−4λQ′+2λP+2λQf\left(\lambda P+\mu Q\right)=3\lambda P''+3\lambda Q''-4\lambda P'-4\lambda Q'+2\lambda P+2\lambda Q
f(λP+μQ)=λ(3P′′−4P′+2P)+μ(3Q′′−4Q′+2Q)f\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda \left(3P''-4P'+2P \right)+\mu \left(3Q''-4Q'+2Q \right)
Ainsi :
f(λP+μQ)=λf(P)+μf(Q)f\left(\lambda P+\mu Q\right)=\lambda f\left(P\right)+\mu f\left(Q\right)